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Lección 12Usemos gráficas para comparar relaciones

Grafiquemos más de una relación en la misma cuadrícula.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo comparar dos relaciones proporcionales relacionadas con base en sus gráficas.
  • Sé que la gráfica más empinada de dos relaciones proporcionales tiene una constante de proporcionalidad mayor.

12.1 Conversación numérica: multiplicación y división de fracciones

Calcula mentalmente cada producto o cociente.

\frac23 \boldcdot \frac12

\frac43 \boldcdot \frac14

4 \div \frac15

\frac96 \div \frac12

12.2 Carrera hasta los carros chocones

Diego, Lin y Mai fueron desde la taquilla hasta los carros chocones. A continuación están las descripciones y tablas que representan sus trayectos.

1. Lean cada descripción y completen cada tabla.

  • Diego dejó la taquilla al mismo tiempo que Tyler. Diego trotó a la delantera a un ritmo constante y llegó a los carros chocones en 30 segundos.
  • Lin dejó la taquilla al mismo tiempo que Tyler. Corrió a un ritmo constante y llegó a los carros chocones en 20 segundos.
  • Mai dejó la taquilla 10 segundos después que Tyler. Su trote constante le permitió alcanzar a Tyler justo cuando él llegaba a los carros chocones.
tiempo de Diego (segundos) distancia de Diego (metros)
0
15
30 50
1
tiempo de Lin (segundos) distancia de Lin (metros)
0
25
20 50
1
tiempo de Mai (segundos) distancia de Mai (metros)
0
25
40 50
1

2. Dibujen una gráfica para el trayecto de cada persona, incluyendo el de Tyler (de la lección anterior).

  • Arrastren los nombres hasta las rectas correctas para marcarlas.
  • Si así lo quieren, pueden utilizar la herramienta "Pincel" para cambiar el color de cada recta. Seleccionen la herramienta, hagan clic sobre un color en la paleta debajo de la gráfica y luego hagan clic sobre una recta. Hagan clic sobre la herramienta "Mover" (la flecha) antes de cambiar a un nuevo color de pincel.
  • Desmarcando la casilla debajo de la gráfica, pueden ocultar cualquier punto que hayan creado.
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3. Entre Tyler, Diego y Lin, ¿quién se mueve más rápido? ¿Cómo se ve reflejado eso en la gráfica?

¿Estás listo para más?

Escribe ecuaciones para representar la relación entre tiempo y distancia de cada persona.

12.3 Rocas espaciales y el precio de la cuerda

  1. El meteorito Perseid 245 y un asteroide desconocido viajaban a través del sistema solar.

    Explora el applet para saber la distancia que ha viajado cada uno después de un tiempo dado.

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    ¿El asteroide x viaja más rápido o más despacio que el Perseid 245? Explica cómo lo sabes.

  2. La gráfica muestra el precio, p , de distintas longitudes, L , de dos tipos de cuerda.

    Two lines graphed in the coordinate plane labeled "Cotton" and "Nylon". There is a horizontal L axis and a vertical p axis. The line labeled "Nylon" begins at the origin and moves steadily upward and to the right. The line labeled "Cotton" also begins at the origin moves steeply upward and to the right.

    Si compras $1.00 de cada tipo de cuerda, ¿cuál será más larga? Explica cómo lo sabes.

Resumen de la lección 12

Esta gráfica muestra el precio de los arándanos en dos tiendas diferentes. ¿Cuál tienda tiene un mejor precio?

Podemos comparar puntos que tengan el mismo valor  x o el mismo valor  y . Por ejemplo, los puntos  (2, 12) y  (3, 12) nos indican que en la tienda B puedes obtener más libras de arándanos por el mismo precio.

Los puntos  (3, 12) y  (3, 18) nos indican que en la tienda A tienes que pagar más por la misma cantidad de arándanos. Esto significa que la tienda B tiene el mejor precio.

También podemos utilizar las gráficas para comparar las constantes de proporcionalidad. La recta que representa la tienda B pasa por el punto  (1, 4) , así que la constante de proporcionalidad es 4. Esto nos indica que en la tienda B los arándanos cuestan $4 por libra. Esto es más barato que el precio unitario de $6 por libra en la tienda A.

Problemas de práctica de la lección 12

  1. Empareja cada ecuación con su gráfica.

    1. y = 2x
    2. y = \frac45 x
    3. y = \frac14 x
    4. y = \frac23 x
    5. y = \frac43 x
    6. y = \frac32 x

    1

    A line is graphed in the coordinate plane with the origin labeled “O”. The numbers 0 through 5 are indicated on the horizontal axis. The numbers 0 through 5, are indicated on the vertical axis. The line begins at the origin. It moves steadily upwards and to the right passing through the points with coordinates 1 comma four fifths, and 5 comma 4.

    2

    Graph 2 is a line graphed in the coordinate plane with the origin labeled “O”. The numbers 0 through 5 are indicated on the horizontal axis. The numbers 0 through 5 on the vertical axis. There are two evenly spaced horizontal gridlines between each integer. The line begins at the origin. It moves steadily upward and to the right passing through the points with coordinates 1 comma two-thirds, and 3 comma 2.

    3

    Graph 3 is a line graphed in the coordinate plane with the origin labeled “O”. The numbers 0 through 5 are indicated on the horizontal axis. The numbers 0 through 5 are indicated on the vertical axis. There are 2 evenly spaced horizontal gridlines between each integer. The line begins at the origin. It moves steadily upward and to the right passing through the points with coordinates 1 comma 1 and one-third, and 3 comma 4.

    4

    Graph 4 is a line graphed in the coordinate plane with the origin labeled “O”. The numbers 0 through 5 are indicated on the horizontal axis. The numbers 0 through 5 are indicated on the vertical axis. There are three evenly spaced horizonatal gridlines between each interger. The line begins at the origin. It moves gradually upwards and to the right passing through the points with coordinates 1 comma one-fourth, and 4 comma 1.

    5

    Graph 5 is a line graphed in the coordinate plane with the origin labeled “O”. The numbers 0 through 5 are indicated on the horizontal axis. The numbers 0 through 5 are indicated on the vertical axis. There are also horizontal gridlines midway between each integer. The line begins at the origin. It moves steeply upward and to the right, passing through the points with coordinates 1 comma 2, and 2 comma 4.

    6

    Graph 6 is a line graphed in the coordinate plane with the origin labeled “O”. The numbers 0 through 5 are indicated on the horizontal axis. The numbers 0 through 5 are indicated on the vertical axis. There are horizontal gridlines midway between each integer. The line begins at the origin. It moves steadily upward and to the right, passing through the points with coordinates 1 comma 1 point 5 and 2 comma 3.

  2. Las gráficas a continuación muestran algunos datos del menú de una tienda de café. Una de las gráficas muestra costo (en dólares) versus volumen de la bebida (en onzas) y la otra muestra calorías versus volumen de la bebida (en onzas).

    __________________ vs. volumen

    A coordinate plane with the origin labeled “O”. The horizontal axis is labeled “volume in ounces” and the numbers 0 through 26, in increments of 2, are indicated. The vertical axis has the numbers 0 through 6 indicated. The points with coordinates 10 comma 3 point 7 5, 12 comma 4, 16 comma 4 point 5, and 24 comma 4 point 9 5 are indicated.

    _____________________ vs. volumen

    A coordinate plane with the origin labeled “O”. The horizontal axis is labeled “volume in ounces” and the numbers 0 through 26, in increments of 2, are indicated. The vertical axis has the numbers 0 through 350, in increments of 50 indicated. The points 10 comma 150, 12 comma 180, 15 point 9 comma 2 hundred 38 point 5, and 24 comma 360 are indicated.
    1. ¿Cuál gráfica es cuál? Dales los títulos correctos.
    2. ¿Qué cantidades parecen estar en una relación proporcional? Explica cómo lo sabes.
    3. Para la relación proporcional, encuentra la constante de proporcionalidad. ¿Qué significa ese número? 

  3. Lin y Andre fueron a su casa en bicicleta desde la escuela a un ritmo constante. Lin recorrió 1.5 km en su bicicleta y se tardó 5 minutos. Andre recorrió 2 km en su bicicleta y se tardó 7 minutos.

    1. Dibuja una gráfica con dos rectas que representen los recorridos en bicicleta de Lin y Andre. 
    2. Para cada recta, resalta el punto con coordenadas (1,k) y encuentra  k .
    3. ¿Quién iba manejando su bicicleta más rápido?