Lección 4Relaciones proporcionales y ecuaciones
Escribamos ecuaciones que describan relaciones proporcionales.
Metas de aprendizaje:
- Puedo escribir la constante de proporcionalidad como un elemento en una tabla.
- Puedo escribir una ecuación de la forma y=kx para representar una relación proporcional descrita en una tabla o una historia.
4.1 Conversación numérica: división
Encuentra mentalmente cada cociente.
4.2 Alimentemos otra vez a muchas personas
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Una receta dice que 2 tazas de arroz seco alcanzarán para 6 personas. Completa la tabla mientras respondes las preguntas. Prepárate para explicar tu razonamiento.
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¿Para cuántas personas alcanzará 1 taza de arroz?
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¿Para cuántas personas alcanzarán 3 tazas de arroz?, ¿12 tazas?, ¿43 tazas?
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¿Para cuántas personas alcanzarán tazas de arroz?
tazas de arroz seco número de personas 1 2 6 3 12 43 -
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Una receta dice que 6 spring rolls alcanzarán para 3 personas. Completa la tabla mientras que respondes las preguntas. Prepárate para explicar tu razonamiento.
- ¿Para cuántas personas alcanzará 1 spring roll?
- ¿Para cuántas personas alcanzarán 10 spring rolls?, ¿16 spring rolls?, ¿25 spring rolls?
- ¿Para cuántas personas alcanzarán spring rolls?
número de spring rolls número de personas 1 6 3 10 16 25 - ¿En qué fue diferente completar esta tabla y completar la tabla anterior?, ¿en qué fue semejante?
4.3 De Denver a Chicago
Un avión voló a una rapidez constante entre Denver y Chicago, y tardó 1.5 horas en volar 915 millas.
- Completa la tabla.
tiempo (horas) distancia (millas) rapidez (millas por hora) 1 1.5 915 2 2.5 - ¿Cuánto vuela el avión en una hora?
- ¿Cuánto volaría el avión en horas a esta rapidez?
- Si representa la distancia que el avión vuela a esta rapidez en horas, escribe una ecuación que relacione y .
- ¿Cuánto volaría el avión en 3 horas a esta rapidez? ¿En 3.5 horas? Explica o muestra tu razonamiento.
¿Estás listo para más?
Un planeta rocoso orbita alrededor de Próxima Centauri, una estrella que queda alrededor de 1.3 parsecs de la Tierra. Este es el planeta más cercano por fuera de nuestro sistema solar.
- ¿Cuánto tiempo tarda la luz de Próxima Centauri en alcanzar la Tierra? (Un parsec son aproximadamente 2.36 años luz. Un año luz es la distancia que la luz recorre en un año).
- Hay dos hermanos gemelos. Uno de ellos quiere explorar el planeta cercano a Próxima Centauri y sale en una nave espacial viajando al 90% de la rapidez de la luz, mientras que el otro hermano gemelo se queda en la Tierra. ¿Cuánto envejece el gemelo que se queda en la Tierra mientras el otro gemelo viaja a Próxima Centauri? (¿Crees que la respuesta sería la misma para el otro gemelo? Puedes consultar "La paradoja de los gemelos" para aprender más de esto).
4.4 Retomemos la actividad "Masa de pan"
En una pastelería usan 8 cucharadas de miel por cada 10 tazas de harina para hacer masa de pan. Algunos días se hacen tandas más grandes y otros días tandas más pequeñas, pero siempre con la misma razón de miel a harina.
- Completa la tabla.
- Si es el número de tazas de harina que se necesitan para cucharadas de miel, escribe una ecuación que relacione y .
-
¿Cuánta harina se necesita para 15 cucharadas de miel? Explica o muestra tu razonamiento.
| miel (cucharadas) | harina (tazas) |
|---|---|
| 1 | |
| 8 | 10 |
| 16 | |
| 30 | |
Resumen de la lección 4
La tabla muestra la cantidad de pintura roja y de pintura azul que se necesita para obtener cierto tono de pintura morada, llamado Atardecer de Venus.
Observa que "partes" puede ser cualquier unidad de volumen. Si mezclamos 3 tazas de rojo con 12 tazas de azul, obtendremos el mismo tono que si mezclamos 3 cucharaditas de rojo con 12 cucharaditas de azul.
| pintura roja (partes) |
pintura azul (partes) |
|---|---|
| 3 | 12 |
| 1 | 4 |
| 7 | 28 |
| 1 | |
La última fila en la tabla dice que si conocemos la cantidad de pintura roja que se necesita, , siempre la podemos multiplicar por 4 para encontrar la cantidad de pintura azul, , que se debe mezclar para obtener Atardecer de Venus. Podemos decir esto de forma más corta con la ecuación . Así que la cantidad de pintura azul es proporcional a la cantidad de pintura roja y la constante de proporcionalidad es 4.
También podemos ver esta relación en la dirección opuesta.
Si conocemos la cantidad de pintura azul, , que se necesita, siempre la podemos multiplicar por para encontrar la cantidad de pintura roja, , que se debe mezclar para obtener Atardecer de Venus. Así que . La cantidad de pintura azul es proporcional a la cantidad de pintura roja y la constante de proporcionalidad es .
| pintura azul (partes) |
pintura roja (partes) |
|---|---|
| 12 | 3 |
| 4 | 1 |
| 28 | 7 |
| 1 | |
En general, cuando es proporcional a , siempre podemos multiplicar por el mismo número , la constante de proporcionalidad, para obtener . Podemos escribir esto de manera mucho más corta con la ecuación .
Problemas de práctica de la lección 4
Un techo está hecho de baldosas. Cada metro cuadrado de techo requiere 10.75 baldosas. Completa la tabla con los valores que faltan.
metros cuadrados de techo número de baldosas 1 10 100 En un vuelo de Nueva York a Londres, un avión viaja a una rapidez constante. Una ecuación que relaciona la distancia recorrida en millas, , con el número de horas de vuelo, , es . ¿Cuánto tiempo le tomará al avión recorrer 800 millas?
Cada tabla representa una relación proporcional. Para cada una, encuentra la constante de proporcionalidad y escribe una ecuación que represente la relación.
2 8 3 12 5 20 10 40 Constante de proporcionalidad:
Ecuación:
2 6.28 3 9.42 5 15.7 10 31.4 Constante de proporcionalidad:
Ecuación:
Un mapa de colorado dice que la escala es 1 pulgada a 20 millas o 1 a 1,267,200. ¿Estas dos maneras de indicar la escala son iguales? Explica tu razonamiento.
Este es un polígono en una cuadrícula.
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Dibuja una copia a escala del polígono usando un factor de escala de 3. Marca la copia como A.
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Dibuja una copia a escala del polígono con un factor de escala de . Márcala como B.
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¿El polígono A es una copia a escala del polígono B? Si es así, ¿cuál es el factor de escala que transforma B en A?
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