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Lección 5Dos ecuaciones para cada relación

Investiguemos las ecuaciones que representan relaciones proporcionales. 

Metas de aprendizaje:

  • Puedo encontrar dos constantes de proporcionalidad para una relación proporcional.
  • Puedo escribir dos ecuaciones que representen una relación proporcional descrita por una tabla o una historia.

5.1 Figuras que faltan

Estas son la segunda y la cuarta figura de un patrón.

A growing rectangular tile pattern composed of 2 rows of blue and orange tiles. The first pattern labeled "Figure 1" is blank. In the second pattern labeled "Figure 2," the top row has 2 blue square tiles and 3 orange rectangular tiles. The bottom row has 3 orange rectangular tiles and 2 blue square tiles. The third figure labeled "Figure 3" is blank. In the fourth figure labeled "Figure 4," the top row has 2 blue square tiles, 3 orange rectangular tiles, 2 blue square tiles, then 3 orange rectangular tiles. The bottom row has 3 orange rectangular tiles, 2 blue square tiles, 3 orange rectangular tiles, then 2 blue square tiles.
  1. ¿Cómo crees que se ven la primera y la tercera figura del patrón?
  2. Describe la 10º figura del patrón.

5.2 Metros y centímetros

Hay 100 centímetros (cm) en cada metro (m).

longitud (m) longitud (cm)
1 100
0.94
1.67
57.24
x
longitud (cm) longitud (m)
100 1
250
78.2
123.9
y
  1. Completa cada tabla.
  2. Encuentra la constante de proporcionalidad de cada tabla.
  3. ¿Cuál es la relación entre estas constantes de proporcionalidad?
  4. Escribe una ecuación para la relación proporcional de cada tabla en la que  x represente una longitud medida en metros y y la misma longitud medida en centímetros.

¿Estás listo para más?

  1. ¿Cuántos centímetros cúbicos hay en un metro cúbico?
  2. ¿Cómo se convierte de centímetros cúbicos a metros cúbicos?
  3. ¿Cómo se convierte en el otro sentido?

5.3 Llenemos un dispensador de agua

Priya tardó 5 minutos en llenar un dispensador con 8 galones de agua que fluía de un grifo a una tasa constante. Llamemos  w al número de galones de agua que hay en el dispensador luego de t minutos.

  1. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la relación entre w y t ? Selecciona todas las que correspondan.

    1. w = 1.6t
    2. w = 0.625t
    3. t = 1.6w
    4. t = 0.625w

  2. ¿Qué nos dice el 1.6 sobre la situación?

  3. ¿Qué nos dice el 0.625 sobre la situación?

  4. Priya cambió la tasa a la que fluía el agua por el grifo. Escribe una ecuación que represente la relación entre w y t , si llenar el dispensador con 1 galón de agua tarda 3 minutos.

  5. ¿El dispensador se estaba llenando más rápido antes o después de que Priya cambió la tasa a la que fluía el agua? Explica cómo lo sabes.

5.4 Alimentación de camarones

En un acuario se alimenta a un camarón con \frac{1}{5} gramo de comida. Cada día se le alimenta 3 veces.

  1. ¿Cuánta comida recibe un camarón en un día?

  2. Completa la tabla para mostrar cuántos gramos de comida recibe el camarón en distintos números de días.

    número de días comida en gramos
    1
    7
    30
    “Shrimp in aquarium” por uzilday vía Pixabay. Dominio público.
  3. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ¿Qué nos dice sobre la situación?
  4. Si intercambiáramos las columnas de la tabla, ¿cuál sería la constante de proporcionalidad? Explica tu razonamiento.
  5. Llamemos d al número de días y f a la cantidad de comida en gramos que come el camarón. Escribe dos ecuaciones que representen la relación entre d y f .
  6. Si un tanque tiene 10 camarones, ¿cuánta comida se agrega al tanque cada día?
  7. Si el gerente del acuario tiene 300 gramos de comida para camarones para este tanque con 10 camarones, ¿cuántos días durará la comida? Explica tu razonamiento.

Resumen de la lección 5

Si Kiran montó en su bicicleta a una rapidez constante de 10 millas por hora, su distancia en millas, d , es proporcional al número de horas,  t , que montó. Podemos escribir la ecuación  d = 10 t Con esta ecuación, es fácil encontrar la distancia que Kiran recorrió si sabemos el tiempo que tardó, porque basta multiplicar el tiempo por 10.  

Podemos reescribir la ecuación así:

\begin{align} d &= 10 t\\ \left( \frac{1}{10} \right) d &= t \\ t &= \left( \frac{1}{10} \right) d \end{align}

Esta versión de la ecuación nos dice que la cantidad de tiempo que él montó es proporcional a la distancia que recorrió y la constante de proporcionalidad es  \frac{1}{10} . Esa forma es más fácil de usar cuando conocemos su distancia y queremos encontrar cuánto tiempo tardó, porque podemos basta multiplicar la distancia por  \frac{1}{10} .

Cuando dos cantidades x y y están en una relación proporcional, podemos escribir la ecuación  y = k  x y decir, " y es proporcional a  x ". En este caso, el número k es la constante de proporcionalidad correspondiente. También podemos escribir la ecuación  x = \frac{1}{k} y y decir, " x es proporcional a y ". En este caso, el número  \frac{1}{k}  es la constante de proporcionalidad correspondiente. Cada una puede ser útil dependiendo de la información que tengamos y la cantidad que estemos buscando.

Problemas de práctica de la lección 5

  1. La tabla representa la relación entre una longitud medida en metros y la misma longitud medida en kilómetros.

    1. Completa la tabla.
    2. Escribe una ecuación para convertir el número de metros a kilómetros. Usa x para el número de metros y y para el número de kilómetros.
    metros kilómetros
    1,000 1
    3,500
    500
    75
    1
    x

  2. Los bloques de construcción de concreto pesan 28 libras cada uno. Si se usa b para el número de bloques de concreto y w para el peso, escribe dos ecuaciones que relacionen las dos variables. Una ecuación debería empezar con  w = y la otra debería empezar con  b = .

  3. En un almacén se vende cuerdas por metro. La ecuación  p = 0.8L representa el precio p (en dólares) de un pedazo de cuerda de nailon que mide L metros de largo. 

    1. ¿Cuánto cuesta la cuerda de nailon por cada metro?
    2. ¿Qué tan largo es un pedazo de cuerda de nailon que cuesta $1.00?

  4. La tabla representa una relación proporcional. Encuentra la constante de proporcionalidad y escribe una ecuación que represente la relación.

    a y
    2 \frac23
    3 1
    10 \frac{10}{3}
    12 4

    Constante de proporcionalidad:__________

    Ecuación: y = __________

  5. En un mapa de Chicago, 1 cm representa 100 m. Selecciona todos los enunciados que expresan la misma escala.

    1. 5 cm en el mapa representa 50 m en Chicago.

    2. 1 mm en el mapa representa 10 m en Chicago.

    3. 1 km en Chicago está representado por 10 cm en el mapa.

    4. 100 cm en Chicago está representado por 1 m en el mapa.