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Lección 8Aumento y disminución porcentual con ecuaciones

Utilicemos ecuaciones para representar aumentos y disminuciones.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo resolver problemas sobre aumento y disminución porcentual escribiendo una ecuación para representar la situación y resolviéndola.

8.1 De 100 a 106

¿Cómo se pasa de un número al siguiente usando multiplicación o división? 

  1. De 100 a 106
  2. De 100 a 90
  3. De 90 a 100
  4. De 106 a 100

8.2 Interés y depreciación

  1. El dinero en una determinada cuenta de ahorro aumenta después de un año aproximadamente un 6%. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de un año si la cantidad inicial es de $100, $50, $200, $125,  x dólares? Si tienes dificultades, considera utilizar diagramas o una tabla para organizar tu trabajo.

  2. El costo de un automóvil nuevo disminuye aproximadamente un 15% en el primer año. ¿Cuánto costará un automóvil después de un año si su valor inicial fue de $1,000, $5,000, $5,020,  x dólares? Si tienes dificultades, considera utilizar diagramas o una tabla para organizar tu trabajo.

8.3 Relacionar ecuaciones

Asocia una ecuación a cada una de estas situaciones. Prepárate para compartir tu razonamiento.

  1. El nivel del agua en una represa en este momento es 52 metros. Si esto equivale a un aumento del 23%, ¿cuál era la profundidad inicial?
  2. La nieve tiene en este momento 52 pulgadas de profundidad. Si esto equivale a una disminución del 77%, ¿cuál era la profundidad inicial?

0.23x = 52

0.77x = 52

1.23x = 52

1.77x = 52

¿Estás listo para más?

Una astronauta estaba explorando la luna de un planeta distante y encontró una sustancia viscosa y brillante en el fondo de un cráter muy profundo. Trajo una muestra de 10 gramos de la sustancia a su laboratorio. Allí descubrió que cuando la sustancia se exponía a la luz, la cantidad total de sustancia aumentaba en un 100% cada hora.

  1. ¿Cuánta sustancia viscosa tendrá la astronauta después de 1 hora? ¿Después de 2 horas? ¿Después de 3 horas? ¿Después de n horas? 
  2. Cuando puso la sustancia viscosa de vuelta en la oscuridad, se contrajo un 75% cada hora. ¿Cuántas horas le tomará a la sustancia viscosa que estuvo expuesta a la luz durante n horas volver a su tamaño original? 

8.4 Representación del aumento y la disminución porcentual: ecuaciones

  1. Al tanque de gasolina del auto de papá le caben 12 galones. Al tanque de gasolina en la camioneta de mamá le cabe un 50% más que eso. ¿Cuánta gasolina almacena el tanque de la camioneta?

    Explica por qué esta situación puede representarse con la ecuación (1.5) \boldcdot 12 = t . Asegúrate de explicar lo que representa t .

  2. Escribe una ecuación para representar cada una de las siguientes situaciones.
    1. Una sala de cine redujo el tamaño de sus bolsas de palomitas de maíz en un 20%. Si las bolsas viejas contenían 15 tazas de palomitas de maíz, ¿cuánto contienen las bolsas nuevas?
    2. Después de un descuento del 25%, el precio de una camiseta es $12. ¿Cuál era el precio antes del descuento?
    3. En comparación con el año pasado, la población de Boom Town ha aumentado en un 25%. La población ahora es de 6,600. ¿Cuál fue la población el año pasado?

Resumen de la lección 8

Podemos usar ecuaciones para expresar el aumento porcentual y la disminución porcentual. Por ejemplo, si y  es 15% más que x,  

podemos representarlo usando cualquiera de estas ecuaciones: 

y = x + 0.15x

y = (1 + 0.15)x

y = 1.15x

De esta forma, si alguien hace una inversión de x  dólares y su valor aumenta en un 15% a $1250, entonces podemos escribir y resolver la ecuación 1.15x =1250  para encontrar el valor de la inversión inicial.   

Este es otro ejemplo: si a  es 7% menos que b ,  

podemos representarlo usando cualquiera de estas ecuaciones: 

a = b - 0.07b

a = (1-0.07)b

a = 0.93b

Entonces, si la cantidad de agua en un tanque disminuyó un 7% desde su valor inicial de  b  hasta su valor final de 348 galones, entonces podemos escribir 0.93b = 348 .

A menudo, una ecuación es la forma más eficiente de resolver un problema que involucra un aumento porcentual o una disminución porcentual.

Problemas de práctica de la lección 8

  1. Alguien compró un par de zapatillas deportivas por $120. Desde que se compraron, su precio ha aumentado en un 15%. ¿Cuál es el nuevo precio?

  2. La tía de Elena le compró un bono de ahorro de $150 cuando nació. Cuando Elena tenga 20 años, el bono habrá ganado el 105% en intereses. ¿Cuánto costará el bono cuando Elena tenga 20 años?

  3. En un videojuego, Clare anotó 50% más puntos que Tyler. Si c es la cantidad de puntos que anotó Clare y t es la cantidad de puntos que anotó Tyler, ¿qué ecuaciones son correctas? Selecciona todas las que aplican.

    1. c = 1.5t
    2. c = t + 0.5
    3. c = t + 0.5t
    4. c = t + 50
    5. c = (1 + 0.5)t

  4. Dibuja un diagrama para representar cada situación. 

    1. La cantidad de millas que alguien condujo este mes disminuyó un 30% con respecto a la cantidad de millas que alguien condujo el mes pasado. 
    2. La cantidad de papel que se utilizó en la tienda de fotocopias este mes aumentó un 25% con respecto a la cantidad de papel que utilizaron el mes pasado. 

  5. ¿Cuál decimal es la mejor estimación de la fracción  \frac{29}{40}

    1. 0.5
    2. 0.6
    3. 0.7
    4. 0.8

  6. ¿7.2 pulgadas y 28 pulgadas podrían ser el diámetro y la circunferencia del mismo círculo? Explica por qué sí o por qué no.