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Lección 9Experimentos de varios pasos

Calculemos las probabilidades de experimentos que tienen varios pasos.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo utilizar el espacio muestral para calcular la probabilidad de un evento en un experimento de varios pasos.

9.1 ¿Verdadero o falso?

Cada ecuación, ¿es verdadera o falsa? Explica tu razonamiento.

8=(8+8+8+8)\div3

(10+10+10+10+10)\div5=10

(6+4+6+4+6+4)\div6=5

9.2 Hagamos girar una ruleta de colores y una de números

El otro día, escribiste los elementos del espacio muestral para el experimento de hacer girar una vez cada una de estas ruletas.

¿Cuál es la probabilidad de obtener...

  1. ...verde y 3?
  2. ...azul y un número impar?
  3. ...cualquier color distinto de rojo y cualquier número distinto de 2?
Two different circular spinners. The spinner on the left is divided into four equal parts. The first part is red and labeled "R," the second part is blue and labeled “B,” the third part is green and labeled “G,” and the fourth part is white and labeled "W.” The pointer is in the part labeled “W.” The spinner on the right is divided into five equal parts. Starting from the top right, and moving clockwise, the first part is labeled 1, the second, 2, the third, 3, the fourth, 4, and the fifth, 5. The pointer is in the part labeled “5.”

9.3 Dados y monedas

El otro día observaron una lista, una tabla y un árbol que mostraban el espacio muestral de un experimento que consistía en lanzar un dado numérico y tirar una moneda.

  1. El profesor les asignará una de esas tres estructuras con el fin de que la utilicen para responder estas preguntas. Prepárense para explicar su razonamiento.

    1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener sello y 6?

    2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara y un número impar?

      Hagan una pausa para que su profesor pueda revisar su trabajo.

  2. Supongamos que lanzan dos dados numéricos. ¿Cuál es la probabilidad de que...

    1. ...ambos dados caigan en el mismo número?
    2. ...un dado muestre exactamente un número par?
    3. ...un dado muestre por lo menos un número par?
    4. ...los dados muestren dos valores cuya suma sea 8?
    5. ...los dados muestren dos valores cuya suma sea 13?
  3. Jada lanza tres monedas de veinticinco centavos. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres caigan por el mismo lado?

9.4 Escoge una tarjeta

Imaginen que hay 5 tarjetas de colores. Hay una roja, una amarilla, una verde, una blanca y una negra. Mezclen las tarjetas y escojan una de ellas sin mirar. Luego, sin volver a poner la tarjeta en el grupo, mezclen las tarjetas que queden y escojan otra.

  1. Escriban los elementos del espacio muestral y digan cuántos resultados posibles hay.
  2. ¿Qué estructura utilizaron para escribir todos los resultados (una lista, una tabla, un árbol o algo más)? Expliquen por qué escogieron esa estructura.

  3. ¿Cuál es la probabilidad de que...

    1. ...saquen una tarjeta blanca y una tarjeta roja (en cualquier orden)?

    2. ...saquen una tarjeta negra (cualquiera de las veces)?

    3. ...no saquen una tarjeta negra (cualquiera de las veces)?

    4. ...saquen una tarjeta azul?

    5. ...saquen 2 tarjetas del mismo color?

    6. ...saquen 2 tarjetas de colores diferentes?

¿Estás listo para más?

En un juego que utiliza cinco tarjetas numeradas con 1, 2, 3, 4 y 5, sacas dos tarjetas y sumas los valores. Si la suma es 8, ganas. ¿Preferirías sacar una tarjeta y volverla a poner en el grupo antes de sacar la segunda tarjeta o quedarte con la primera tarjeta en la mano y sacar la segunda tarjeta? Explica tu razonamiento.

Resumen de la lección 9

Supongamos que tenemos dos bolsas. Una contiene 1 bloque de estrella y 4 bloques de luna. La otra contiene 3 bloques de estrella y 1 bloque de luna.

Si escogemos un bloque aleatoriamente de cada bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que saquemos dos bloques de estrellas o dos bloques de lunas?

Two bags of blocks. The bag on the left contains 5 blocks: 1 star block and 4 moon blocks. The bag on the right contains 4 blocks: 3 star blocks and 1 moon block.

Para responder esta pregunta, podemos dibujar un diagrama de árbol para ver todos los resultados posibles.

A tree diagram. The first choice has 5 branches, representing the 5 blocks in the bag: one branch is labeled “star,” the other 4 are labeled “moon.” Each of these branches has 4 branches, representing the 4 blocks in the second bag. 3 branches are labeled “star” and one is labeled “moon.” The word “star” in the first choice, and the 3 “star” choices branching from it are highlighted gold. From the first choice, the word “moon” is highlighted blue on each of the four remaining branches. From each of those branches, the one choice of “moon” for each is also highlighted blue.

Hay  5 \boldcdot 4 = 20 resultados posibles. En 3 de estos resultados, ambos bloques tienen estrellas y en 4 de ellos ambos bloques tienen lunas. Entonces, la probabilidad de sacar 2 bloques de estrella o 2 bloques de luna es  \frac{7}{20} .

En general, si todos los resultados de un experimento son igualmente probables, entonces la probabilidad de que ocurra un evento es la fracción de resultados del espacio muestral en los cuales ocurre el evento.

Problemas de práctica de la lección 9

  1. Una máquina expendedora tiene gomas de mascar de 5 colores (blanco, rojo, verde, azul y amarillo) y tiene la misma posibilidad de dispensar una goma de cada color. Una segunda máquina tiene gomas elásticas en 4 formas de animales distintos (león, elefante, caballo y caimán) y la misma posibilidad de dispensar una goma de cada forma. Si compras un artículo de cada máquina, ¿cuál es la probabilidad de obtener una goma de mascar amarilla y una goma elástica en forma de león?

  2. En una bolsa se ponen los números del 1 al 10. En otra bolsa se ponen los números del 5 al 14. Al escoger un número de cada bolsa, ¿cuál es la probabilidad de obtener el mismo número?

  3. Al lanzar 3 dados numéricos estándar, la probabilidad de obtener tres números iguales es  \frac{6}{216} . ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres números que no sean todos iguales? Explica tu razonamiento.

  4. Para cada evento, escribe los elementos del espacio muestral y di cuántos resultados hay.

    1. Lanzar un dado numérico estándar. Luego lanzar una moneda de veinticinco centavos.

    2. Escoger un mes. Luego escoger 2020 o 2025.

  5. En una gráfica del área de un cuadrado versus su perímetro, se grafican algunos puntos.

    1. Agrega algunas parejas ordenadas más a la gráfica.
      A coordinate grid with the horizontal axis labeled "perimeter in units" and vertical axis labeled "area in square units." On both axes the numbers 0 through 30, in increments of 2, are indicated. Two points with the coordinates (16, 16) and (20, 25) are indicated on the grid.
    2. ¿Existe una relación proporcional entre el área y el perímetro de un cuadrado? Explica cómo lo sabes.