Lección 21Cilindros, conos y esferas
Encontremos el volumen de figuras.
Metas de aprendizaje:
- Puedo encontrar el radio de una esfera si conozco su volumen.
- Puedo resolver problemas matemáticos y de la vida real sobre el volumen de cilindros, conos, y esferas.
21.1 Discusión sobre la esfera
Cuatro estudiantes calcularon el volumen de una esfera de 9 centímetros de radio y obtuvieron cuatro respuestas diferentes.
- Han piensa que es 108 centímetros cúbicos.
- Jada obtuvo centímetros cúbicos.
- Tyler calculó 972 centímetros cúbicos.
- Mai dice que es centímetros cúbicos.
¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.
21.2 El radio de la esfera
El volumen de esta esfera de radio es . Este enunciado es verdadero:
21.3 Falta de información: dimensiones desconocidas
Tu profesor te dará o una tarjeta de problema o una tarjeta de datos. No muestres ni leas tu tarjeta a tu compañero.
Si tu profesor te da una tarjeta de problema:
- Lee tu tarjeta en silencio y piensa qué información necesitas para responder la pregunta.
- Pide a tu compañero la información específica que necesitas.
- Explica a tu compañero cómo vas a usar esa información para resolver el problema.
- Resuelve el problema y explica tu razonamiento a tu compañero.
Si tu profesor te da una tarjeta de datos:
- Lee la información de tu tarjeta en silencio.
- Pregunta a tu compañero: "¿Qué información específica necesitas?". Espera a que tu compañero te pida la información. Dale únicamente la información que esté en la tarjeta (¡no le ayudes a descifrar nada a tu compañero!).
- Antes de darle la información a tu compañero, pregúntale "¿por qué necesitas esa información?".
- Cuando tu compañero haya resuelto el problema, pídele que te explique su razonamiento y escucha su explicación.
Haz una pausa acá para que tu profesor pueda revisar tu trabajo. Pide a tu profesor un nuevo juego de tarjetas y repite la actividad, intercambiando roles con tu compañero.
21.4 La capacidad correcta
Un cilindro con diámetro de 3 centímetros y altura de 8 centímetros se llena con agua. Decide cuáles de las siguientes figuras, si hay alguna, podrían contener toda el agua del cilindro. Explica tu razonamiento.
- Un cono con una altura de 8 centímetros y un radio de 3 centímetros.
- Un cilindro con un diámetro de 6 centímetros y una altura de 2 centímetros.
- Un prisma rectangular con un largo de 3 centímetros, ancho de 4 centímetros y altura de 8 centímetros.
- Una esfera con un radio de 2 centímetros.
¿Estás listo para más?
Un cuervo sediento quiere elevar el nivel del agua de un recipiente cilíndrico para poder alcanzar el agua con su pico.
- El contenedor tiene un diámetro de 2 pulgadas y una altura de 9 pulgadas.
- El nivel del agua es actualmente de 6 pulgadas.
- El cuervo puede alcanzar el agua si esta está a 1 pulgada de la parte superior del recipiente.
Resumen de la lección 21
La fórmula
da el volumen de una esfera de radio . Podemos usar la fórmula para encontrar el volumen de una esfera de radio conocido. Por ejemplo, si el radio de una esfera es de 6 unidades, entonces el volumen será
o aproximadamente unidades cúbicas. También podemos usar la fórmula para encontrar el radio de una esfera si solo conocemos su volumen. Por ejemplo, si sabemos que el volumen de una esfera es unidades cúbicas, pero desconocemos el radio, entonces esta ecuación es verdadera:
Esto significa que y, por lo tanto, el radio tiene que ser 3 unidades para que cada lado de la ecuación tenga el mismo valor.
Muchos objetos comunes, desde botellas de agua hasta edificios y globos tienen una forma semejante a la de los prismas rectangulares, cilindros, conos y esferas (¡o incluso combinaciones de estas formas!). Al usar las fórmulas de volumen para estas figuras podemos comparar el volumen de diferentes tipos de objetos, a veces con resultados sorprendentes.
Por ejemplo, una caja en forma de cubo cuyo lado tiene una longitud de 3 centímetros contiene menos que una esfera con un radio de 2 centímetros, porque el volumen del cubo es 27 centímetros cúbicos () y el volumen de la esfera es aproximadamente 33.51 centímetros cúbicos ().
Problemas de práctica de la lección 21
Una bola de helado tiene 1.5 pulgadas de diámetro. ¿Qué altura debe tener el cono de helado para contener todo el helado, si tienen el mismo radio?
Calcula el volumen de las siguientes figuras con la información dada. Para las tres primeras preguntas, da las respuestas en términos de y usa para aproximarlo. Asegúrate de incluir unidades.
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Esfera de diámetro 6 pulgadas
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Cilindro de altura 6 pulgadas y de diámetro 6 pulgadas
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Cono de altura 6 pulgadas y de radio 3 pulgadas
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¿Cómo están relacionados estos volúmenes?
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Un dispensador de pelotas de goma que funciona con monedas tiene una esfera grande de vidrio que contiene muchas pelotas esféricas. La esfera grande de vidrio tiene 9 pulgadas de radio. Cada pelota de goma tiene 1 pulgada de radio y están dentro del dispensador.
Si hay 243 pelotas de goma en la esfera de vidrio, ¿qué proporción del volumen de la esfera de vidrio ocupan las pelotas de goma? Explica cómo lo sabes.
Un granjero tiene un tanque de agua para vacas en forma de un cilindro con un radio de 7 pies y una altura de 3 pies. El tanque está equipado con un sensor para avisar al granjero que necesita llenarlo cuando el agua llegue al 20% de capacidad. ¿Cuál es el volumen del tanque cuando el sensor se enciende?