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Lección 13Rectángulos con lados de longitud fraccionaria

Exploremos rectángulos que tienen medidas fraccionarias.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo usar división y multiplicación para resolver problemas que involucran áreas de rectángulos con lados de longitudes fraccionarias.

13.1 Áreas de cuadrados

Three squares. The first square is labeled with side length 1 inch on the vertical side and 1 inch on the horizontal side. The second square is labeled with side length one half inch on the vertical side and one half inch on the horizontal side. The third square is labeled with side length 2 inches on the vertical side and 2 inches on the horizontal side.
  1. ¿Qué observas sobre el área de los cuadrados? Escribe tus observaciones.
  2. Considera la afirmación: "Un cuadrado con lado de longitud  \frac13 de pulgada tiene un área de \frac13 pulgadas cuadradas". ¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con la afirmación? Explica o muestra tu razonamiento.

13.2 Áreas de cuadrados y rectángulos

Usa una hoja de papel cuadriculado de \frac14 de pulgada para esta actividad.

  1. Usa una regla para dibujar en el papel cuadriculado un cuadrado con lado de longitud de 1 pulgada. Dentro del cuadrado, dibuja un cuadrado con lado de longitud de \frac14 de pulgada.

    1. ¿Cuántos cuadrados con lado de longitud de \frac 14 de pulgada caben en un cuadrado con lado de longitud de 1 pulgada?
    2. ¿Cuál es el área de un cuadrado con lado de longitud de \frac 14 de pulgada? Explica o muestra tu razonamiento.

  2. Usa una regla para dibujar en el papel cuadriculado un rectángulo de  3\frac12 pulgadas por  2\frac14 pulgadas. Escribe una expresión de división para cada pregunta y responde la pregunta.

    1. ¿Cuántos segmentos de \frac14 de pulgada hay en una longitud de 3\frac12 pulgadas?
    2. ¿Cuántos segmentos de \frac14 de pulgada hay en una longitud de 2\frac14 pulgadas?
  3. Usa tus dibujos para mostrar que un rectángulo de  3\frac12 pulgadas por  2\frac14 pulgadas tiene un área de  7\frac 78 pulgadas cuadradas.

13.3 Áreas de rectángulos

Cada una de las siguientes expresiones multiplicativas representa el área de un rectángulo.

2 \boldcdot 4

2\frac12 \boldcdot 4

2 \boldcdot 4\frac 34

2\frac12 \boldcdot 4\frac34

  1. Todas las regiones sombreadas en azul claro tiene la misma área. Empareja cada diagrama con la expresión de multiplicación que piensas que representa su área. Prepárate para explicar tu razonamiento.

  2. Usa el diagrama que corresponde a  2\frac12 \boldcdot 4\frac34 para mostrar que  2\frac12 \boldcdot 4\frac34 es lo mismo que 11\frac78 .

¿Estás listo para más?

Los siguientes rectángulos están compuestos por cuadrados y cada rectángulo está construido usando el rectángulo anterior. La longitud de lado del primer cuadrado es 1 unidad.

  1. Dibuja los siguientes cuatro rectángulos que se construyen con la misma lógica. Después, completa la tabla con la longitud de los lados del rectángulo y la fracción del lado largo sobre el lado corto.

    lado corto lado largo \frac {\text {lado largo}}{\text{lado corto}}
    1
    1
    2
    3
  2. Describe los valores de la fracción del lado largo sobre el lado corto. ¿Qué le pasa a la fracción a medida que el patrón continúa?

13.4 ¿Cuántos necesitaría? (Parte 2)

Noah desea cubrir una bandeja rectangular con baldosas rectangulares. La bandeja tiene un ancho de 11\frac14 pulgadas y un área de 50\frac58 pulgadas cuadradas.

  1. Encuentra el largo de la bandeja en pulgadas.
  2. Si las baldosas son de  \frac{3}{4} de pulgada por  \frac{9}{16} de pulgada, ¿cuántas necesitaría Noah para cubrir completamente la bandeja, sin huecos ni superposiciones? Explica tu razonamiento.
  3. Dibuja un diagrama para mostrar cómo podría Noah colocar las baldosas. Tu diagrama debe mostrar cuántas baldosas se necesitarían para cubrir el largo y el ancho de la bandeja, pero no es necesario que muestre todas las baldosas.

Resumen de la lección 13

Si un rectángulo tiene lados de longitud  a unidades y  b unidades, el área es  a \boldcdot b unidades cuadradas. Por ejemplo, si tenemos un rectángulo con lados de longitud  \frac12 pulgada, su área es  \frac12 \boldcdot \frac12 o  \frac14 pulgadas cuadradas.

A large square is divided into 4 equal squares. The large square has bottom horizontal side length labeled 1 inch. Of the four smaller squares, the top left square is shaded blue. It has side lengths labeled one half inch.

Esto implica que si conocemos el área y la longitud de un lado de un rectángulo, podemos dividir para encontrar la longitud del otro lado.

A rectangle with the horizontal side labeled 10 and one half inches and the vertical side labeled with a question mark. In the center of the rectangle, 89 and one fourth square inches is indicated.

 

Si la longitud de un lado de un rectángulo es 10\frac12 in y su área es 89\frac14 in2, podemos escribir esta ecuación para mostrar su relación:  10\frac12  \boldcdot {?} =89\frac14 .

Posteriormente, podemos encontrar la longitud del otro lado en pulgadas usando la división:  89\frac14 \div 10\frac12 = {?}

Problemas de práctica de la lección 13

    1. Determina la incógnita que corresponde a la longitud de lado del rectángulo si el área del rectángulo es 11 m2. Muestra tu razonamiento.
      A rectangle that is labeled 11 meters squared. The side length of one side of the rectangle is labeled "three and two thirds meters" and the side length of the other side is labeled with a question mark. Each angle is labeled with a right angle symbol.
    2. Verifica tu respuesta multiplicando esta longitud de lado por la longitud de lado dada ( 3\frac 23 ). ¿El producto que resulta es 11? Si no, repasa tu trabajo de la primera pregunta.

  2. Un trabajador está recubriendo el piso de una habitación rectangular que mide 12 pies por 15 pies. Las baldosas son cuadrados con lados de longitud  1\frac13 pies. ¿Cuántas baldosas se necesitan para cubrir todo el piso? Muestra tu razonamiento.

  3. Una pantalla de televisor tiene 16\frac12 pulgadas de largo, w pulgadas de ancho y un área de 462 pulgadas cuadradas. Selecciona todas las ecuaciones que representan la relación entre las longitudes de los lados y el área del televisor.

    1. w \boldcdot 462 = 16\frac12
    2. 16\frac12 \boldcdot w = 462
    3. 462 \div 16\frac12 = w
    4. 462 \div w= 16\frac12
    5. 16\frac12 \boldcdot 462 = w

  4. El área de un rectángulo es 17\frac12 in2 y su lado más corto mide 3\frac12 in. Dibuja un diagrama que muestre esta información. ¿Cuál es la longitud del lado más largo?

  5. Una repisa mide 42 pulgadas de largo.

    1. ¿Cuántos libros de 1\frac12 pulgadas de longitud caben en la repisa? Explica tu razonamiento.
    2. Una estantería tiene 5 de estas repisas. ¿Cuántos pies de espacio de estantería hay? Explica tu respuesta.

  6. Determina el valor de \frac{5}{32}\div \frac{25}{4} . Muestra tu razonamiento.

  7. ¿Cuántos grupos de 1\frac23 hay en cada una de las siguientes cantidades?

    a. 1\frac56

    b. 4\frac13

    c. \frac56

  8. Llenar un balde de agua de 3 galones con una manguera tarda 1\frac{1}{4} minutos. A esta tasa, ¿cuánto tarda llenar una tina de 50 galones? Si tienes dificultades, considera usar una tabla.