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Lección 11Desviación de la media

Estudiemos las distancias entre los valores y la media y veamos qué nos dicen estas distancias.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo encontrar la MAD de un conjunto de datos.
  • Sé qué mide la desviación media absoluta y qué información proporciona.

11.1 Encestar (Parte 1)

A Elena, Jada y Lin les gusta jugar baloncesto durante el recreo. Últimamente han estado practicando tiros al aro de baloncesto. Ellas registran el número de cestas que anotan por cada 10 intentos. Estos son los conjuntos de datos durante 12 días de escuela.

Elena 4 5 1 6 9 7 2 8 3 3 5 7
Jada 2 4 5 4 6 6 4 7 3 4 8 7
Lin 3 6 6 4 5 5 3 5 4 6 6 7
  1. Calcula la media del número de cestas que anotó cada jugadora y compara las medias. ¿Qué observas?
  2. ¿Qué nos dicen las medias en este contexto?

11.2 Encestar (Parte 2)

Estos son los diagramas de puntos que muestran el número de cestas que Elena, Jada y Lin anotaron durante 12 días de escuela.

  1. Sobre cada diagrama de puntos, marca la ubicación de la media con un triángulo ( \Delta ). Luego, contrasta las distribuciones de los diagramas de puntos. Escribe 2 o 3 afirmaciones para describir la forma y la dispersión de cada distribución.
Three dot plots. One for “number of baskets Elena made”, one for “number of baskets Jada made”, and one for “number of baskets Lin made.” On each dot plot, the numbers 0 through 10 are indicated. On the dot plot labeled “number of baskets Elena made” the data are as follows: 1 basket, 1 dot. 2 baskets, 1 dot. 3 baskets, 2 dots. 4 baskets, 1 dot. 5 baskets, 2 dots. 6 baskets, 1 dot. 7 baskets, 2 dots. 8 baskets, 1 dot. 9 baskets, 1 dot. On the dot plot labeled “number of baskets Jada made” the data are as follows: 2 baskets, 1 dot. 3 baskets, 1 dot. 4 baskets, 4 dots. 5 baskets, 1 dot. 6 baskets, 2 dots. 7 baskets, 2 dots. 8 baskets, 1 dot. On the dot plot labeled “number of baskets Lin made” the data are as follows: 3 baskets, 2 dots. 4 baskets, 2 dots. 5 baskets, 3 dots. 6 baskets, 4 dots. 7 baskets, 1 dot.

 

  1. Discute las siguientes preguntas con tu grupo. Explica tu razonamiento.

    1. ¿Dirías que las tres estudiantes juegan igual de bien?
    2. ¿Dirías que las tres estudiantes juegan con la misma consistencia?
    3. Si pudieras escoger una jugadora para que estuviera en tu equipo de baloncesto con base en sus registros, ¿a quién escogerías?

11.3 Encestar (Parte 3)

Las tablas muestran los datos del juego de baloncesto entre Elena, Jada y Lin en la actividad anterior. Recuerda que la media de los datos de Elena, así como la de los datos de Jada y de Lin, es 5. 

  1. Escribe la distancia entre cada puntaje de Elena y la media 
    Elena 4 5 1 6 9 7 2 8 3 3 5 7
    distancia al 5 1 1

    Ahora encuentra el promedio de las distancias en la tabla. Muestra tu razonamiento y redondea tu respuesta a la décima más cercana.

    Este es el valor de la desviación media absoluta (MAD) de los datos de Elena.

    La MAD de Elena: _________

  2. Encuentra la desviación media absoluta de los datos de Jada. Redondéala a la décima más cercana.
    Jada 2 4 5 4 6 6 4 7 3 4 8 7
    distancia al 5

    La MAD de Jada: _________

  3. Encuentra la desviación media absoluta de los datos de Lin. Redondéala a la décima más cercana.
    Lin 3 6 6 4 5 5 3 5 4 6 6 7
    distancia al 5

    La MAD de Lin: _________

  4. Compara las MAD y los diagramas de puntos de los datos de las tres estudiantes. ¿Ves una relación entre la MAD de cada estudiante y la distribución en su diagrama de puntos? Explica tu razonamiento.
    Three dot plots labeled “number of baskets Elena made,” “number of baskets Jada made,” and “number of baskets Lin made” are indicated. Each dot plot has the numbers 0 through 10 indicated with a triangle at the number 5. The dot plot “number of baskets Elena made,” has the following data: 1 basket, 1 dot. 2 baskets, 1 dot. 3 baskets, 2 dots. 4 baskets, 1 dot. 5 baskets, 2 dots. 6 baskets, 1 dot. 7 baskets, 2 dots. 8 baskets, 1 dot. 9 baskets, 1 dot. The dot plot “number of baskets Jada made,” has the following data: 2 baskets, 1 dot. 3 baskets, 1 dot. 4 baskets, 4 dots. 5 baskets, 1 dot. 6 baskets, 2 dots. 7 baskets, 2 dots. 8 baskets, 1 dot. The dot plot “number of baskets Lin made,” has the following data: 3 baskets, 2 dots. 4 baskets, 2 dots. 5 baskets, 3 dots. 6 baskets, 4 dots. 7 baskets, 1 dot.

¿Estás listo para más?

Inventa otro conjunto de datos que también tenga una media de 5 pero que tenga una MAD mayor que 2. Recuerda, los valores en el conjunto de datos deben ser números enteros del 0 al 10.

11.4 El juego del 22

Tu profesor le dará a tu grupo una baraja de cartas. Mezcla las cartas y pon la baraja hacia abajo sobre la superficie de la mesa.

  • Para jugar: saca 3 cartas y suma sus valores. Un as es un 1. El valor de la jota, de la reina y del rey es de 10 cada uno. Las cartas del 2 al 10 tienen cada una el valor que indica la carta. Si tu suma es cualquier cosa diferente a 22 (por encima o por debajo), di: "Mi suma se desvía de 22 por ____ " o "Mi suma está desfasada por ____ de 22".
  • Para llevar el puntaje: registra cada suma y cada distancia al 22 en una tabla. Después de cinco rondas, calcula el promedio de las distancias. El jugador con el menor promedio de distancia al 22 gana el juego.
jugador A ronda 1 ronda 2 ronda 3 ronda 4 ronda 5
suma de las cartas
distancia al 22

Distancia promedio al 22: ____________

jugador B ronda 1 ronda 2 ronda 3 ronda 4 ronda 5
suma de las cartas
distancia al 22

Distancia promedio al 22: ____________

jugador C ronda 1 ronda 2 ronda 3 ronda 4 ronda 5
suma de las cartas
distancia al 22

Distancia promedio al 22: ____________

¿Quién obtuvo el menor promedio de las distancias al 22? ¿Quién ganó el juego?

Resumen de la lección 11

Usamos la media de un conjunto de datos como una medida de centro de su distribución, pero dos conjuntos de datos con la misma media pueden tener distribuciones muy diferentes.

Este diagrama de puntos muestra los pesos en gramos de 22 galletas.

A dot plot for “cookie weights in grams.” The numbers 8 through 34, in increments of 2, are indicated. A triangle is indicated at 21 grams. The data are as follows: 18 grams, 1 dot; 19 grams, 3 dots; 20 grams, 4 dots; 21 grams, 5 dots; 22 grams, 6 dots; 23 grams, 2 dots, 24 grams, 1 dot.

La media de los pesos es 21 gramos. Todos los pesos están a 3 gramos o menos de la media y la mayoría de ellos están aún más cerca. Estás galletas tienen pesos bastante cercanos.

Este diagrama de puntos muestra los pesos en gramos de un conjunto diferente de 30 galletas. 

A dot plot for “cookie weights in grams.” The numbers 8 through 34, in increments of 2, are indicated. A triangle is indicated at 21 grams. The data are as follows: 9 grams, 1 dot; 10 grams, 1 dot; 11 grams, 2 dots; 12 grams, 1 dot; 14 grams, 1 dot; 16 grams, 2 dots; 17 grams, 1 dot; 18 grams, 2 dots; 19 grams, 1 dot; 20 grams, 3 dots; 21 grams, 1 dot; 22 grams, 3 dots; 23 grams, 1 dot; 24 grams, 2 dots; 26 grams, 2 dots; 28 grams, 1 dot; 30 grams, 1 dot; 32 grams, 2 dots; 33 grams, 1 dot; 34 grams, 1 dot.

La media de los pesos de este grupo de galletas también es 21 gramos, pero algunas galletas pesan la mitad de eso y otras pesan una vez y media ese peso. Hay mucha más variabilidad en el peso.

Existe un número que podemos usar para describir qué tan lejos o qué tan dispersos están, en general, los puntos de datos de la media. Esta medida de dispersión se llama la desviación media absoluta (MAD por sus siglas en inglés).

En este caso, la MAD nos dice qué tan lejos de 21 gramos están generalmente los pesos de las galletas. Para encontrar la MAD, encontramos la distancia entre cada valor y la media y después calculamos la media de esas distancias.

Por ejemplo, el punto que representa 18 gramos está a 3 unidades de la media de 21 gramos. Podemos encontrar la distancia entre cada punto y la media de 21 gramos y organizar las distancias en una tabla, como se muestra a continuación.

A dot plot for “cookie weights in grams.” The numbers 8 through 34, in increments of 2, are indicated. A triangle is indicated at 21 grams. There are two perpendicular lines drawn, one at 18 grams and the other at 21 grams. A horizontal line between the two lines is labeled 3. The data are as follows: 18 grams, 1 dot; 19 grams, 3 dots; 20 grams, 4 dots; 21 grams, 5 dots; 22 grams, 6 dots; 23 grams, 2 dots, 24 grams, 1 dot.
peso en gramos 18 19 19 19 20 20 20 20 21 21 21 21 21 22 22 22 22 22 22 23 23 24
distancia a la media 3 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 3

Los valores en la primera fila de la tabla son los pesos de las galletas del primer grupo de galletas. Su media, 21 gramos, es la media de los pesos de las galletas.

Los valores en la segunda fila de la tabla son las distancias entre los valores en la primera fila y 21. La media de estas distancias es la MAD de los pesos de las galletas.

¿Qué información podemos aprender del promedio de estas distancias una vez lo calculamos?

  • En el primer grupo de galletas, todas las distancias están entre 0 y 3. La MAD es 1.2 gramos, lo que nos dice que los pesos de las galletas están típicamente a menos de 1.2 gramos de 21 gramos. Podemos decir que el peso típico de una galleta está entre 19.8 y 22.2 gramos.

  • En el segundo grupo de galletas, todas las distancias están entre 0 y 13. La MAD es 5.6 gramos, lo que nos dice que los pesos de las galletas están típicamente a menos de 5.6 gramos de 21 gramos. Podemos decir que el peso típico de una galleta está entre 15.4 y 26.6 gramos.

La MAD también se llama una medida de la variabilidad de la distribución. En estos ejemplos, es fácil ver que una mayor MAD hace pensar en una distribución que está más dispersa, al mostrar mayor variabilidad.

Términos del glosario

desviación media absoluta (MAD)

La desviación media absoluta es una medida de la dispersión de un conjunto de datos. A veces la llamamos la MAD (por sus siglas en inglés). Por ejemplo, para el conjunto de datos 7, 9, 12, 13, 14, la MAD es 2.4. Esto nos dice que estos tiempos de viaje están, por lo general, a 2.4 minutos de diferencia de la media que es 11.

Para encontrar la MAD, sumamos las distancias de cada dato a la media y después dividimos entre la cantidad de datos.  4+2+1+2+3 = 12 y 12 \div 5 = 2.4 .

Problemas de práctica de la lección 11

  1. Han registró el número de páginas que leyó cada día durante cinco días. El diagrama de puntos muestra sus datos.

    A dot plot for "number of pages". The numbers 24 through 42, in increments of 2, are indicated. There are also tick marks midway between each number. The data are as follows: 25 pages, 1 dot. 28 pages, 1 dot. 32 pages, 1 dot. 36 pages, 1 dot. 42 pages, 1 dot.

    a. ¿30 páginas es una buena estimación para la media del número de páginas que Han leyó cada día? Explica tu razonamiento.

    1. Encuentra la media del número de páginas que Han leyó durante los cinco días. Dibuja un triángulo para señalar la media en el diagrama de puntos.
    2. Usa el diagrama de puntos y la media para completar la tabla.
      número de páginas distancia a la media a la izquierda o a la derecha de la media
      25 izquierda
      28
      32
      36
      42
    3. Calcula la desviación media absoluta (MAD) de los datos. Explica o muestra tu razonamiento.

  2. Diez estudiantes de sexto grado registraron la cantidad de tiempo que cada uno se demoró en ir a la escuela. El diagrama de puntos muestra sus tiempos de recorrido.

    A dot plot for “travel time in minutes.” The numbers 0 through 60, in increments of 10, are indicated. There are also tick marks midway between. The data are as follows: 2 minutes, 2 dots. 7 minutes, 2 dots. 8 minutes, 3 dots. 11 minutes, 1 dot. 17 minutes, 1 dot. 20 minutes, 1 dot. Week ago Robert PuchalikApr 10 9:49 @Kia Johnson Revised to: A dot plot for “travel time in minutes.” The numbers 0 through 60, in increments of 10, are indicated. There are also tick marks midway between each number. The data are as follows: 2 minutes, 2 dots. 7 minutes, 2 dots. 8 minutes, 3 dots. 11 minutes, 1 dot. 17 minutes, 1 dot. 20 minutes, 1 dot.

    La media de los tiempos de recorrido para estos estudiantes es aproximadamente 9 minutos. La MAD es aproximadamente 4.2 minutos.​

    1. ¿Qué cantidad de minutos es típica del tiempo del recorrido a la escuela para los diez estudiantes de sexto grado: 9 o 4.2? Explica tu razonamiento.
    2. Basándose en la media y la MAD, Jada cree que los tiempos de recorrido entre 5 y 13 minutos son comunes para este grupo. ¿Estás de acuerdo? Explica tu razonamiento.
    3. Un grupo diferente de diez estudiantes de sexto grado también registró sus tiempos de recorrido a la escuela. La media de sus tiempos de recorrido también fue 9 minutos, pero la MAD fue alrededor de 7 minutos. ¿Cómo podría ser el diagrama de puntos de este segundo conjunto de datos? Describe o dibuja cómo podría verse.

  3. En una competencia de tiro con arco, los puntajes para cada ronda se calculan tomando el promedio de las distancia de las 3 flechas al centro del blanco. 

    La media de las distancias de un arquero es 1.6 pulgadas y la MAD de las distancias es 1.3 pulgadas en la primera ronda. En la segunda ronda, las flechas del arquero están más alejadas del centro pero sus distancias son más uniformes. ¿Qué valores de la media y la MAD encajarían con esta descripción de la segunda ronda? Explica tu razonamiento.