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Lección 6Cambios de escala y áreas

Construyamos figuras a escala e investiguemos sus áreas.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo describir cómo el área de una copia a escala se relaciona con el área de la figura original que se usó.

6.1 Cambiemos la escala de una ficha geométrica

Usa los applets para explorar las fichas geométricas. Trabaja con tu grupo para construir las copias a escala descritas en cada pregunta.

  1. ¿Cuántas fichas de rombo azul se necesitan para hacer una copia a escala de la figura A:

    1. en la que cada lado sea el doble del largo original?

    2. en la que cada lado tenga 3 veces el largo original?

    3. en la que cada lado tenga 4 veces el largo original?

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  2. ¿Cuántas fichas de triángulo verde se necesitan para hacer una copia a escala de la figura B:

    1. en la que cada lado sea el doble del largo original?

    2. en la que cada lado tenga 3 veces el largo original?

    3. usando factor de escala 4?

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  3. ¿Cuántas fichas de trapecio rojo se necesitan para hacer una copia a escala de la figura C:

    1. usando factor de escala 2?

    2. usando factor de escala 3?

    3. usando factor de escala 4?

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  4. Haz una predicción: ¿Cuántas fichas serían necesarios para construir copias a escala de estas figuras usando factor de escala 5?, ¿usando factor de escala 6? Prepárate para explicar tu razonamiento.

6.2 Cambiemos la escala de más fichas geométricas

Tu profesor le asignará a tu grupo una de estas figuras, hechas con fichas de tamaño original.

  1. Mueve el control deslizante del applet para ver una copia a escala de la figura que te fue asignada, usando un factor de escala de 2. Usa las fichas de tamaño original para construir una figura que coincida con esa. ¿Cuántos bloques fueron necesarios? 

  2. Explica por qué no fue suficiente duplicar el número de fichas para coincidir con la copia a escala, a pesar de que el factor de escala era 2.

  3. Mueve el control deslizante para ver una copia a escala de la figura que te fue asignada usando un factor de escala de 3. Empieza a construir una figura con las fichas de tamaño original para que coincida con esta. Detente cuando estés seguro de cuántos bloques se necesitarían. Anota tu respuesta.

  4. Predice: ¿cuántos bloques se necesitarían para hacer copias a escala usando factores de escala 4, 5 y 6? Explica o muestra tu razonamiento. 

  5. ¿En qué se parece el patrón de esta actividad al que observaste la actividad pasada? ¿En qué es diferente?

  6. Discute tus respuestas con las de otro grupo que haya trabajado con la misma figura hasta que lleguen a un acuerdo. Prepárate para compartir tu razonamiento con la clase.

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¿Estás listo para más?

  1. ¿Cuántas fichas crees que se necesitan para construir una copia a escala de un hexágono amarillo en el que cada lado es el doble de largo? ¿el triple de largo?

  2. Descifra una manera de construir estas copias a escala.

  3. ¿Puedes ver un patrón para el número de fichas que se usaron para construir estas copias a escala? Explica tu razonamiento.

6.3 Área de paralelogramos y triángulos a escala

  1. Tu profesor te dará una figura con medidas en centímetros. ¿Cuál es el área de la figura? ¿Cómo lo sabes?
  2. Trabaja con tu compañero en dibujar copias a escala de la figura, usando cada uno de los factores de escala de la tabla. Completen la tabla con las medidas de las copias a escala.
    factor de escala base (cm) altura (cm) área (cm2)
    1
    2
    3
    \frac{1}{2}
    \frac{1}{3}
  3. Comparen sus resultados con los de un grupo que haya trabajado con una figura diferente. ¿Qué es igual en sus respuestas? ¿Qué es diferente?
  4. Si dibujaran copias a escala de la figura con los siguientes factores de escala, ¿cuáles serían sus áreas? Discutan su razonamiento. Si están en desacuerdo, trabajen para llegar a un acuerdo. Prepárense para explicar su razonamiento.
    factor de escala área (cm2)
    5
    \frac{3}{5}

Resumen de la lección 6

Redimensionar afecta las longitudes y las áreas de forma diferente. Cuando hacemos una copia a escala, todas las longitudes originales se multiplican por el factor de escala. Si hacemos una copia de un rectángulo cuyas longitudes de lado son 2 unidades y 4 unidades usando un factor de escala de 3, las longitudes de lado de la copia serán 6 unidades y 12 unidades, porque  2\boldcdot 3 = 6 y 4\boldcdot 3 = 12 .

Two rectangles: The first rectangle has a horizontal length labeled 4 and vertical width labeled 2. The second rectangle has a horizontal length labeled 12 and vertical width labeled 6.

Sin embargo, el área de la copia cambia por un factor de (factor de escala)2. Si cada longitud de lado de la copia es 3 veces tan larga como la longitud de lado original, entonces el área de la copia será 9 veces el área del original, porque  3\boldcdot 3 , o  3^2 , es igual a 9.

Two rectangles. The first rectangle has the vertical side labeled 2 and the horizontal side labeled 4. The second rectangle has the vertical side labeled 6 and the horizontal side labeled 12. Two horizontal dashed lines and 2 vertical dashed lines are drawn in the second rectangle dividing it into 9 identical smaller rectangles.

En este ejemplo, el área del rectángulo original es 8 unidades2 y el área de la copia a escala es 72 unidades2 , porque  9\boldcdot 8 = 72 . Podemos ver que el rectángulo grande está cubierto por 9 copias del rectángulo pequeño, sin espacios ni superposiciones. También podemos verificar esto multiplicando los lados del rectángulo grande:  6\boldcdot 12=72 .

Las longitudes son unidimensionales, así que en una copia a escala, cambian según el factor de escala. El área es bidimensional, entonces cambia según el cuadrado del factor de escala. Podemos ver que esto es verdad en el caso de un rectángulo de longitud  l y ancho  w . Si redimensionamos el rectángulo por un factor de escala de  s , obtenemos un rectángulo de longitud s\boldcdot l y ancho  s\boldcdot w . El área del rectángulo redimensionado es  A = (s\boldcdot l) \boldcdot (s\boldcdot w) , y así  A= (s^2) \boldcdot (l \boldcdot w) . El hecho de que el área se multiplique por el cuadrado del factor de escala también es verdad para copias a escala de otras figuras bidimensionales, no sólo los rectángulos.

Problemas de práctica de la lección 6

  1. En la cuadrícula dibuja una copia a escala del polígono Q usando un factor de escala de 2. Compara el perímetro y el área del nuevo polígono con los de Q.

    A polygon aligned to a square grid is labeled Q. The shape is composed of 3 rectangles. The left part of the shape is 2 squares tall and 1 square wide. The next part of the shape is 3 squares tall and 2 squares wide. The next part of the shape begins 1 square up from the bottom of the shape and is 2 squares tall by 4 squares wide.

  2. Un triángulo rectángulo tiene un área de 36 unidades cuadradas. 

    Si dibujas copias a escala de este triángulo usando los factores de escala dados en la tabla, ¿cuáles serán las áreas de estas copias a escala? Explica tu razonamiento. 

    factor de escala área (unidades2)
    1 36
    2
    3
    5
    \frac12
    \frac23

  3. Diego dibujó una versión a escala de un polígono P y lo llamó polígono Q. 

    A polygon aligned to a square grid labeled Q. The polygon is made up of 4 shapes, joined together along their edges. On the left is a right triangle with a base of 1 unit and a height of 2 units. To the right of the triangle is a 2 unit by 1 unit rectangle aligned with its 2 unit side next to the 2 unit side of the triangle. To the right of this is a 1 unit square, on top of a one-half unit triangle.

    Si el área del polígono P es 72 unidades cuadradas, ¿qué factor de escala usó Diego para ir de P a Q? Explica tu razonamiento.

  4. Este es un polígono sin marcar junto con sus copias a escala, los polígonos A al D. Para cada copia, determina el factor de escala. Explica cómo lo sabes.

    An unlabeled four sided polygon with four different scale copies labeled A, B, C and D on a square grid. The unlabeled polygon has 4 sides, with a vertical heightof 2 on the left side. The height of the vertical side in each polygon is as follows: Polygon A: 1 unit. Polygon B: 4 units. Polygon C: 3 units. Polygon D: 2 units.

  5. Resuelve cada ecuación mentalmente. 

    1. \frac17\boldcdot x=1
    2. x \boldcdot \frac{1}{11}=1
    3. 1\div \frac{1}{5}=x