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Lección 11Interpretemos gráficas de relaciones proporcionales

Leamos historias a partir de las gráficas de relaciones proporcionales.

Metas de aprendizaje:

  • Comprendo la información dada por gráficas de relaciones proporcionales que se componen de puntos o de una recta.
  • Puedo dibujar la gráfica de una relación proporcional dado un solo punto sobre la gráfica (diferente al origen).
  • Puedo encontrar la constante de proporcionalidad a partir de una gráfica.

11.1 ¿Qué podría representar la gráfica?

Esta es una gráfica que representa una relación proporcional.

A line is graphed in the coordinate plane with the origin labeled “O”. The x axis has the numbers 0 through 20, in increments of 2, indicated. The y axis has the numbers 0 through 20, in increments of 2, indicated. The line begins at the origin. It moves gradually upward and to the right passing through the point with coordinates 8 comma 6. There is also a point indicated on the line and the coordinates of that point have integer values.
  1. Inventa una situación que se podría representar por medio de esta gráfica.
  2. Marca los ejes con las cantidades de tu situación.
  3. Ponle un título a la gráfica.
  4. Hay un punto en la gráfica. ¿Cuáles son sus coordenadas? ¿Qué representa en tu situación?

11.2 La caminata de Tyler

Tyler estaba en el parque de diversiones. Caminó a un ritmo constante desde la taquilla hasta los carros chocones.

  1. El punto en la gráfica muestra cuando llega a los carros chocones. ¿Qué nos dicen las coordenadas del punto sobre la situación?
  2. La tabla que representa la caminata de Tyler muestra otros valores de tiempo y distancia. Completa la tabla. Después ubica las parejas de valores en la cuadrícula.
A coordinate plane with the origin labeled “O”. The horizontal axis is labeled “elapsed time in seconds” and the numbers 0 through 60, in increments of 10, are indicated. There are vertical gridlines midway between. The vertical axis is labeled “distance from the ticket booth in meters” and the numbers 0 through 60, in increments of 10, are indicated. There are horizontal gridlines midway between. The point with coordinates 40 comma 50 is indicated.
tiempo
(segundos)		 distancia
(metros)
0 0
20 25
30 37.5
40 50
1
  1. ¿Qué significa el punto  (0, 0) en esta situación?
  2. ¿Qué tan lejos de la taquilla estaba Tyler después de 1 segundo? Marca el punto en la gráfica que muestra esta información con sus coordenadas.
  1. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad para la relación entre tiempo y distancia? ¿Qué te dice sobre la caminata de Tyler? ¿Dónde la ves en la gráfica?

¿Estás listo para más?

Si Tyler quisiera llegar a los carros chocones en la mitad del tiempo, ¿cómo cambiaría la gráfica que representa su caminata? ¿Cómo cambiaría la tabla? ¿Qué pasaría con la constante de proporcionalidad?

11.3 ¡¿Que las gaviotas comen qué?!

4 gaviotas comieron 10 libras de basura. Supongamos que esta información describe una relación proporcional.

  1. Grafica un punto que muestre el número de gaviotas y la cantidad de basura que comieron.
  2. Utiliza una regla para dibujar una recta que pasa por este punto y por  (0,0) .
  3. Grafica el punto  (1, k) sobre la recta. ¿Cuál es el valor de  k ? ¿Qué te dice el valor de k sobre este contexto?
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Resumen de la lección 11

Para la relación representada en esta tabla, y es proporcional a  x . Podemos ver en la tabla que \frac54 es la constante de proporcionalidad porque este es el valor de  y cuando  x es 1.

La ecuación  y = \frac54 x también representa esta relación.

x   y  
4 5
5 \frac{25}{4}
8 10
1 \frac{5}{4}

Esta es la gráfica de esta relación.

A line is graphed in the coordinate plane with the origin labeled “O”. The numbers 0 through 10 are indicated on the x axis. The numbers 0 through 10 are indicated on they axis. The line begins at the origin. It moves steadily upward and to the right passing through the points with coordinates 1 comma five-fourths, 4 comma 5, 5 comma 25 fourths, and 8 comma 10.

Si  y representa la distancia en pies que un caracol se desliza en x minutos, entonces el punto  (4, 5) nos dice que el caracol puede deslizarse 5 pies en 4 minutos.   

Si  y representa las tazas de yogur y x representa las cucharaditas de canela de la receta de una salsa para fruta, entonces el punto  (4, 5) nos dice que podemos mezclar 4 cucharaditas de canela con 5 tazas de yogur para hacer esta salsa para fruta. 

Podemos encontrar la constante de proporcionalidad al mirar la gráfica, porque  \frac54 es la coordenada  y del punto en la gráfica donde la coordenada  x es 1. Esto significaría que el caracol se desplaza a  \frac54 pies por minuto, o que la receta requiere  1\frac14 tazas de yogur por cada cucharadita de canela.

En general, cuando  y es proporcional a  x , la constante de proporcionalidad correspondiente es el valor  y cuando  x=1 .

Problemas de práctica de la lección 11

  1. Existe una relación proporcional entre el número de meses que una persona ha tenido una suscripción a películas por internet y la cantidad total de dinero que ha pagado por la suscripción. El costo para 6 meses es $47.94. El punto  (6, 47.94) se muestra en la siguiente gráfica.

    A coordinate plane with the origin labeled “O”. The horizontal axis is labeled “time in months” and the numbers 0 through 22 are indicated. The vertical axis is labeled “cost in dollars” and the numbers 0 through 180, in increments of 10, are indicated. The point with coordinates 6 comma 47.94 is indicated.
    1. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en esta relación?
    2. ¿Qué nos dice la constante de proporcionalidad sobre la situación?
    3. Agrega por lo menos tres puntos más a la gráfica y etiquétalos con sus coordenadas.
    4. Escribe una ecuación que represente la relación entre  C , el costo total de la suscripción, y m , el número de meses.

  2. La gráfica muestra las cantidades de almendras, en gramos, para distintas cantidades de hojuelas de avena, en tazas, en una mezcla de granola. Marca el punto  (1, k) en la gráfica, encuentra el valor de  (1, k) y explica su significado.

  3. Para hacer un brazalete de la amistad se alinean unas cuerdas largas; luego, se toma una cuerda y se amarra con un nudo a cada una de las otras cuerdas para crear una fila de nudos. Se escoge una nueva cuerda y se anuda con todas las otras para crear una segunda fila. Este proceso se repite hasta que hay suficientes filas para hacer un brazalete que se ajuste a la muñeca de tu amigo.

    ¿El número de nudos es proporcional al número de filas? Explica tu razonamiento.

  4. ¿Qué información necesitas saber para escribir una ecuación que relacione dos cantidades que tienen una relación proporcional?