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Lección 8Comparemos relaciones con ecuaciones

Desarrollemos métodos para decidir si una relación es proporcional. 

Metas de aprendizaje:

  • Puedo decidir si una relación representada por una ecuación es proporcional o no.

8.1 Observa y pregúntate: patrones con rectángulos

Three rectangles on a coordinate grid. The dimensions are as follows: Top rectangle, length 3 units; width 1 unit. Middle rectangle, length 6 units; width 2 units. Bottom rectangle, length 9 units, width 3 units.
¿Ves algún patrón? ¿Qué predicciones puedes hacer sobre los siguientes rectángulos de esta colección si tu patrón continúa?

8.2 Más conversiones

El otro día trabajaste en la conversión de metros, centímetros y milímetros. Estas son otras conversiones de unidades. 

  1. Usa la ecuación  F =\frac95 C + 32 , donde  F representa grados Fahrenheit y  C representa grados Celsius, para completar la tabla.
    temperatura (^\circ\text{C}) temperatura (^\circ\text{F})
    20
    4
    175
  2. Usa la ecuación  c = 2.54n , donde  c representa la longitud en centímetros y  n representa la longitud en pulgadas, para completar la tabla.
    longitud (in) longitud (cm)
    10
    8
    3 \frac12
  3. ¿Estas son relaciones proporcionales? Explica por qué sí o por qué no.

8.3 Longitud de lado total, área de superficie y volumen

Estos son algunos cubos con diferentes longitudes de lado. Completa cada tabla. Prepárate para explicar tu razonamiento.

Three cubes of different sizes: first cube has side length 3, second cube side length 5, and thrid cube has side length 9 and 1/2
  1. ¿Cuál es la longitud total de las aristas de cada cubo?
longitud
de lado		 longitud
total de las aristas
3
5
9\frac12
s
  1. ¿Cuál es el área de superficie de cada cubo?
longitud
de lado		 área de
superficie
3
5
9\frac12
s
  1. ¿Cuál es el volumen de cada cubo?
longitud
de lado		 volumen
3
5
9\frac12
s
  1. ¿Cuáles de estas relaciones son proporcionales? Explica cómo lo sabes.

  2. Escribe ecuaciones para la longitud total de las aristas E , el área de superficie total A y el volumen V de un cubo con longitud de lado s .

¿Estás listo para más?

  1. Un sólido rectangular tiene una base cuadrada cuya longitud de lado es \ell , su altura es 8 y su volumen V . ¿La relación entre \ell y  V es una relación proporcional?
  2. Un sólido rectangular diferente tiene longitud  \ell , ancho 10, altura 5 y volumen  V . ¿La relación entre \ell y  V es una relación proporcional?
  3. ¿Por qué la relación entre la longitud de lado y el volumen es proporcional en una de las situaciones y en la otra no?

8.4 Todo tipo de ecuaciones

Estas son seis ecuaciones diferentes.

y = 4 + x

y = \frac{x}{4}

y = 4x

y = 4^{x}

y = \frac{4}{x}

y = x^{4}

  1. Predice cuáles de estas ecuaciones representan una relación proporcional. 
  1. Completa cada tabla usando la ecuación que representa la relación.
Six identical three column tables with 4 rows of data: The first column is labeled "x", the second column is labeled "y", and the third column is labeled "the fraction y over x". Row 1: x, 2. Row 2: x, 3. Row 3: x, 4. Row 4: x, 5. Each table has an equation above it, as follows: Table 1, Equation 1: y equals 4 + x; Table 2, Equation 2: y equals 4x; Table 3, Equation 3: y equals the fraction 4 over x; Table 4, Equation 4: y equals x the fraction x over 4; Table 5, Equation 5: y equals 4 to power x; Table 6, Equation 6: y equals x to the power 4;
  1. ¿Estos resultados cambian tu respuesta a la primera pregunta? Explica tu razonamiento.
  2. ¿Qué tienen en común las ecuaciones de las relaciones proporcionales?

Resumen de la lección 8

Si dos cantidades están en una relación proporcional, entonces su cociente siempre es el mismo. Esta tabla representa diferentes valores de a y b , dos cantidades que están en una relación proporcional. 

a b \frac{b}{a}
20 100 5
3 15 5
11 55 5
1 5 5

Observa que el cociente de b y  a siempre es 5. Para escribir esto como una ecuación, podríamos decir  \frac{b}{a}=5 . Si esto es verdad, entonces b=5a  (esto no funciona si  a=0 , pero en los demás casos sí funciona).

Si la cantidad y es proporcional a la cantidad  x , siempre veremos este patrón: \frac{y}{x} siempre tendrá el mismo valor. Este valor es la constante de proporcionalidad, que a menudo llamamos  k . Podemos representar esta relación con la ecuación  \frac{y}{x} = k (siempre y cuando  x no sea 0) o  y=kx .

Observa que si una ecuación no se puede escribir de esta manera, entonces no representa una relación proporcional.

Problemas de práctica de la lección 8

  1. La relación entre una distancia en yardas ( y ) y la misma distancia en millas ( m ) se describe con la ecuación y = 1760m .

    1. Encuentra medidas en yardas y en millas para distancias llenando la tabla.
      distancia medida en millas distancia medida en yardas
      1
      5
      3,520
      17,600
    2. ¿Hay una relación proporcional entre la medida en yardas y la medida en millas para la misma distancia? Explica por qué sí o por qué no.

  2. Decide si cada ecuación representa o no una relación proporcional.

    1. La longitud que sobra ( L ) de una cuerda de 120 pulgadas luego de que se le han cortado  x pulgadas: 120-x = L
    2. El costo total ( t ) luego de que se le agrega 8% de impuesto sobre la venta al precio de un artículo ( p ):  1.08p = t
    3. El número de canicas que obtiene cada hermana ( x ) cuando se comparten m  canicas de manera equitativa entre cuatro hermanas:  x = \frac{m}{4}
    4. El volumen ( V ) de un prisma rectangular cuya altura es 12 cm y cuya base es un cuadrado con longitudes de los lados s cm:  V = 12s^2
    1. Usa la ecuación y = \frac52 x para llenar la tabla.

      ¿Es y proporcional a x ? Explica por qué sí o por qué no.

      x y
      2
      3
      6
    2. Usa la ecuación  y = 3.2x+5 para llenar la tabla.

      ¿Es y proporcional a x ? Explica por qué sí o por qué no.

      x y
      1
      2
      4

  4. Para transmitir información por internet, los archivos grandes se parten en paquetes de tamaños más pequeños. Cada paquete tiene 1,500 bytes de información. Una ecuación que relaciona los paquetes y los bytes está dada por b = 1,\!500p donde p representa el número de paquetes y  b representa el número de bytes de información.

    1. ¿Cuántos paquetes se necesitaría para transmitir 30,000 bytes de información?
    2. ¿Cuánta información se podría transmitir en 30,000 paquetes?
    3. Cada byte contiene 8 bits de información. Escribe una ecuación que represente la relación entre el número de paquetes y el número de bits.