Open Up Resources Logo

Lección 9Pongamos en práctica el área de los círculos

Hallemos áreas de figuras formadas por círculos.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo calcular el área de figuras más complicadas que incluyen fracciones de círculos.
  • Puedo escribir respuestas exactas en términos de \pi .

9.1 Sigamos regando el campo

El área de este campo es aproximadamente 500,000 m2. ¿Cuál es el área del campo aproximada al metro cuadrado más cercano? Supón que la longitud de los lados del cuadrado es exactamente 800 m.

A square where the vertical distance is labeled 800 meters. The largest possible circle is drawn inside the square with a line segment is that begins from the center of the circle to a point on the edge of the circle.
  1. 502,400 m2
  2. 502,640 m2
  3. 502,655 m2
  4. 502,656 m2
  5. 502,857 m2

9.2 Comparemos áreas formadas por círculos

  1. Cada cuadrado tiene lados de 12 unidades de longitud. Compara las áreas de las regiones sombreadas de las 3 figuras. ¿Qué figura tiene la región sombreada más grande? Explica o muestra tu razonamiento.
    Three equal sized figures labeled A B and C. Figure A is a square with a circle inside of it where the circle touches the midpoint of each side of the square. The regions outside of the circle are shaded blue. Figure B is a square with four identical circles inside of it that do not overlap. The circles are arranged in two rows of two circles, are tangent to each other and tangent to the sides of the square. The area outside of the circles is shaded blue. Figure C is a square with nine identical circles inside of it that do not overlap. The circles are arranged in three rows of three circles, are tangent to each other and to the sides of the square. The area outside of the circles is shaded blue.
  2. Cada cuadrado de las figuras D y E tiene lados de 1 unidad de longitud. Compara el área de las dos figuras. ¿Cuál figura tiene más área?, ¿cuánta más? Explica o muestra tu razonamiento.
    Two figures, labeled D and E. Figure D is composed of one square and two semi circles on top, and two bottom halves of circles and one square on the bottom. The top and bottom are divided by a horizontal dashed line. Fiqure E is composed of 4 squares and 6 quarter circles. The 4 square are arranged diagonally, where the top right vertex of the first square is the same point as the bottom left vertex of the second square, the top right vertex of the second square is the same point as the bottom left vertex of the third square, and the top right vertex of the third square is the same point as the bottom left vertex of the fourth square. The corner circles align in between the sides of each square.

¿Estás listo para más?

¿Cuál figura tiene un perímetro más largo, la figura D o la figura E? ¿Cuánto más largo?

9.3 Volvamos a la pista de carreras

El campo que hay dentro de una pista de carreras está formado por un rectángulo de 84.39 m de longitud y 73 m de ancho junto con dos mitades de círculo en cada extremo. Los carriles donde se corre tienen 9.76 m de ancho por todo el rededor.

A picture of a field inside a running track. The field inside the track is composed of a rectangle, indicated by two dashed vertical lines labeled 73 meters and a horizontal length labeled 84 point 3 9 meters. There is a semi circle on each vertical side of the rectangle. The running track goes completely around the field and has a width of 9 point 7 6 meters.
¿Cuál es el área de la pista de carreras que está alrededor del campo? Explica o muestra tu razonamiento.

Resumen de la lección 9

La relación que hay entre  A , el área de un círculo, y  r , su radio, es  A=\pi r^2 . Podemos utilizar esta relación para hallar el área de un círculo si conocemos el radio. Por ejemplo, si un círculo tiene un radio de 10 cm, entonces el área es \pi \boldcdot 10^2 o  100\pi cm2. También podemos utilizar la fórmula para hallar el radio de un círculo si conocemos el área. Por ejemplo, si un círculo tiene un área de  49 \pi m2, entonces su radio es 7 m y su diámetro es 14 m. 

Algunas veces, en lugar de dejar a  \pi en las expresiones que representan el área, puede ser útil usar una aproximación numérica. Para los ejemplos anteriores, un círculo de radio 10 cm tiene un área de aproximadamente 314 cm2. De forma similar, un círculo que tiene un área de 154 m2 tiene un radio de aproximadamente 7 m.

También podemos encontrar el área de una fracción de un círculo. Por ejemplo, esta figura muestra un círculo dividido en 3 pedazos que tienen la misma área. La parte sombreada tienen un área de  \frac13 \pi r^2 .

A circle divided into three equal sections. From the center of the circle three line segments extend to a point on the circle. The line segment extending downward and to the right is labeled “r”. The upper left region of the circle is shaded.

Problemas de práctica de la lección 9

  1. Un círculo que tiene un diámetro de 12 pulgadas se dobla por la mitad y luego se dobla por la mitad otra vez. ¿Cuál es el área de la figura que resulta?

  2. Halla el área de la región sombreada. Expresa tu respuesta en términos de \pi .

    A shaded rectangle with three unshaded circles stacked one above the other inside the rectangle. The horizontal length of the rectangle is 18 inches. On the right side of the rectangle, the length of the vertical side is subdivied into 4 different lengths using arrows. The first arrow indicates that the distance from the top of the rectangle to the top of the first circle is 3 inches. The second arrow indicates that the distance from the top to the bottom of the first circle is 6 inches. The third arrow indicates that the distance from the top to the bottom of the second circle is 9 inches. The fourth arrow indicates that the distance between the top to the bottom of the third circle is 12 inches.

  3. La cara circular de un reloj tiene una circunferencia de 63 in. ¿Cuál es el área de la cara del reloj?

  4. ¿Cuáles de estas parejas de cantidades son proporcionales entres sí? Para las cantidades que son proporcionales, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

    1. El radio y el diámetro de un círculo
    2. El radio y la circunferencia de un círculo
    3. El radio y el área de un círculo
    4. El diámetro y la circunferencia de un círculo
    5. El diámetro y el área de un círculo

  5. Halla el área de esta figura de dos maneras diferentes.

  6. Tanto Elena como Jada leen a una tasa constante, pero Elena lee más despacio que Jada. Por cada 4 páginas que Elena lee, Jada puede leer 5.

    1. Completa la tabla.
      páginas que leyó Elena (e) páginas que leyó Jada (j)
      4 5
      1
      9
      s
      15
      j
    2. Esta es una ecuación para la tabla: j = 1.25e . ¿Qué significa el 1.25?
    3. Si llamamos e al número de páginas que Elena lee, escribe una ecuación para esta relación que empiece con e = \text{...}