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Lección 3Retomemos las relaciones proporcionales

Utilicemos las constantes de proporcionalidad para resolver más problemas.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo identificar las dos cantidades que se encuentran en una relación proporcional cuando hay una tasa constante.
  • Puedo usar una tabla con 2 filas y 2 columnas para encontrar un valor desconocido en una relación proporcional.

3.1 Razones en una receta

Una receta requiere \frac12  taza de azúcar y 1 taza de harina. Completa la tabla para mostrar cuánta azúcar y harina se debe usar para distintos números de tandas de la receta.

azúcar (tazas) harina (tazas)
\frac12 1
\frac34
1\frac34
1
2\frac12

3.2 El precio de la cuerda

Dos estudiantes están resolviendo el mismo problema: en una ferretería se puede cortar una cuerda de un rollo grande, así que se puede comprar cualquier longitud que se desee. El costo por 6 pies de cuerda es de $7.50. ¿Cuánto pagarías por 50 pies de cuerda a esta tasa?

  1. Kiran sabe que puede resolver el problema de esta manera.

    A two column table with 3 rows of data. The first column is labeled "length of rope, in feet", and the second column is labeled "price of rope, in dollars." The data are as follows: Row 1; 6 feet, 7 point 5 zero dollars. Row 2; 1 foot, 1 point 2 5 dollars. Row 3; 50 feet, blank. Two arrows on either side of the table point from row 1 to row 2 and are labeled "multiply by one sixth." Two additional arrows point from row 2 to row 3 and are labeled "multiply by 50."

    ¿Cuál sería la respuesta de Kiran?

  2. Kiran quiere saber si hay una manera más eficiente de resolver el problema. Priya dice que puede resolver el problema con solo 2 filas en la tabla.

    longitud de la cuerda (pies) precio de la cuerda (dólares)
    6 7.50
    50

    ¿Cuál crees que es el método de Priya?

3.3 Natación, fabricación y pintura

  1. Tyler nada a una rapidez constante, 5 metros cada 4 segundos. ¿Cuánto tiempo tarda en nadar 114 metros?

    distancia (metros) tiempo (segundos)
    5 4
    114

  2. Una fábrica produce 3 botellas de agua con gas por cada 8 botellas de agua corriente. ¿Cuántas botellas de agua con gas produce la empresa cuando produce 600 botellas de agua corriente?

    cantidad de botellas de agua con gas cantidad de botellas de agua corriente

  3. Un cierto tono de pintura azul claro se hace mezclando 1\frac12  cuartos de galón de pintura azul con 5 cuartos de galón de pintura blanca. ¿Cuánta pintura blanca necesitarías mezclar con 4 cuartos de galón de pintura azul?

  4. Para cada una de las tres situaciones anteriores, escribe una ecuación para representar la relación proporcional.

¿Estás listo para más?

Distintas señales nerviosas viajan a distintas rapideces.

  • Las señales de presión y del tacto viajan a unos 250 pies por segundo.
  • Las señales de dolor leve viajan aproximadamente a 2 pies por segundo.
  1. ¿Cuánto tiempo te lleva sentir una hormiga que está subiendo por tu pie?
  2. ¿Cuánto tiempo más tardas en sentir un dolor leve en el pie?

3.4 Fin de la carrera y más jugo de naranja

  1. Lin corre 2\frac34  millas en \frac25 de una hora. Tyler corre 8\frac23 millas en \frac43 de una hora. ¿Cuánto tiempo tarda cada uno en correr 10 millas a esa tasa?

  2. Priya mezcla 2\frac12  tazas de agua con \frac13  tazas de concentrado de jugo de naranja. Diego mezcla 1\frac23  tazas de agua con \frac14  tazas de concentrado de jugo de naranja. ¿Cuánto concentrado debería mezclar cada uno con 100 tazas de agua para hacer un jugo que tenga el mismo sabor que el de su receta original? Explica o muestra tu razonamiento.

Resumen de la lección 3

Si identificamos dos cantidades en un problema y una es proporcional a la otra, entonces podemos calcular la constante de proporcionalidad y usarla para responder otras preguntas sobre la situación. Por ejemplo, Andre corre a una velocidad constante, 5 metros cada 2 segundos. ¿Cuánto tiempo tarda en correr 91 metros a esta tasa?

En este problema, hay dos cantidades, tiempo (en segundos) y distancia (en metros). Como Andre está corriendo a una rapidez constante, el tiempo es proporcional a la distancia. Podemos hacer una tabla con la distancia y el tiempo como encabezados de columna y completar la información dada. 

distancia (metros) tiempo (segundos)
5 2
91

Para encontrar el valor en la columna de la derecha, multiplicamos el valor en la columna de la izquierda por \frac25  porque \frac25 \boldcdot 5 = 2 . Esto significa que Andre tarda \frac25 de segundo en correr un metro.

A esta tasa, Andre tardaría \frac25 \boldcdot 91 = \frac{182}{5} , o 36.4 segundos en correr 91 metros. En general, si t  es el tiempo que se tarda en correr  d  metros a ese ritmo, entonces t = \frac25 d .

Problemas de práctica de la lección 3

  1. Una colonia de hormigas necesita 3 días para consumir \frac12 manzana. A esta tasa, ¿cuántos días tardará la colonia de hormigas en consumir 3 manzanas?

  2. Para hacer el tono de pintura llamado jaspe verde, se mezclan 4 cuartos de galón de pintura verde con \frac23  tazas de pintura negra. ¿Cuánta pintura verde se debe mezclar con 4 tazas de pintura negra para hacer el tono jaspe verde?

  3. Un avión está volando desde la ciudad de Nueva York a Los Ángeles. La distancia que recorre en millas, d , está relacionada con el tiempo en segundos, t , mediante la ecuación d=0.15t .

    1. ¿Qué tan rápido está volando? Asegúrate de incluir las unidades.
    2. ¿Qué tan lejos viajará en 30 segundos?
    3. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 12.75 millas?

  4. Un tendero puede comprar fresas a $1.38 por libra.

    1. Escribe una ecuación que relacione el costo c  y las libras de fresas p .
    2. Un pedido de fresas cuesta $241.50. ¿Cuántas libras pidió el tendero?

  5. El Lago del cráter en Oregón tiene una forma parecida a un círculo de diámetro de 5.5 millas aproximadamente.

    1. ¿Qué tan largo es el perímetro alrededor del Lago del cráter?

    2. ¿Cuál es el área de la superficie del Lago del cráter?

  6. Un pedazo de alambre de 50 centímetros de largo se curva para formar un círculo. ¿Cuál es el área de este círculo?

  7. Supongamos que ambos cuadriláteros A y B son cuadrados. ¿A y B son necesariamente copias a escala entre sí? Explica.