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Lección 7Cien por ciento

Solucionemos más problemas sobre el aumento y la disminución porcentual.

Metas de aprendizaje:

  • Comprendo que si conozco cuánto ha crecido una cantidad, entonces la cantidad original representa el 100%.
  • Cuando conozco la cantidad nueva y el aumento o la disminución porcentual, puedo encontrar la cantidad original.
  • Puedo usar un diagrama de recta numérica doble como ayuda para resolver problemas de aumento o disminución porcentual.

7.1 Observa y pregúntate: recta numérica doble

¿Que observas? ¿Qué te preguntas? 

7.2 Rectas numéricas dobles

Para cada problema completa el diagrama de recta numérica doble para mostrar los porcentajes que corresponden a la cantidad original y a la nueva.

  1. Al tanque de gasolina del automóvil de papá le caben 12 galones. Al tanque de gasolina de la camioneta de mamá le cabe un 50% más. ¿Cuánta gasolina le cabe al tanque de la camioneta?

    A double number line for “gas in gallons” with 4 evenly spaced tick marks. The top number line, starting with the first tick mark, has the numbers zero; the remaining tick marks are not labeled. The bottom number line, starting with the first tick mark, has zero percent, 50 percent, 100 percent, and 150 percent labeled.

  2. En una sala de cine, el tamaño de las bolsas de palomitas de maíz disminuyó en un 20%. Si a las bolsas viejas les cabían 15 tazas de palomitas de maíz, ¿cuánto le cabe a las bolsas nuevas?

    A double number line for “popcorn in cups” with 7 evenly spaced tick marks. On the top number line the number zero is on the first tick mark and the remaining tick marks are not labeled. The bottom number line, starting with the first tick mark, zero percent, 20 percent, 40 percent, 60 percent, 80 percent, 100 percent, and 120 percent are labeled.

  3. Una escuela tenía 1,200 estudiantes el año pasado y solo 1,080 estudiantes este año. ¿Cuál fue la disminución porcentual en el número de estudiantes?

    A double number line for “number of people” with 11 evenly spaced tick marks. The top number line, starting with the first tick mark, has the numbers zero, 120, 240, 360, 480, 600, 720, 840, 960, 1080 and 1200 labeled. On the bottom number line zero percent is on the first tick mark and the remaining tick marks are not labeled.

  4. Una semana la gasolina costaba $1.25 por cada galón. A la semana siguiente, la gasolina costaba $1.50 por galón. ¿En qué porcentaje aumentó el precio?

    A double number line for “price of gas in dollars” with 9 evenly spaced tick marks. On the top number line starting with the first tick mark zero, zero point 2 5, zero point 5, zero point 7 5, one, one point 2 5, one point 5, one point 7 5 and 2 are labeled. On the bottom number line, zero percent is on the first tick mark and the remaining tick marks are not labeled.

  5. Después de un 25% de descuento, el precio de una camiseta era de $12. ¿Cuál era el precio antes del descuento?

    A double number line for “price of shirts in dollars” with 6 evenly spaced tick marks. On the top number line, the number zero is on the first tick mark and the remaining tick marks are not labeled. On the bottom number line, starting with the first tick mark, zero percent, 25 percent, 50 percent, 75 percent, 100 percent and 125 percent are labeled.

  6. En comparación con el año pasado, la población de Boom Town aumentó en un 25%. La población ahora es de 6,600. ¿Cuál era la población el año pasado?

    A double number line for "number of people" with 6 evenly spaced tick marks. For the top number line, the number 0 is on the first tick mark and the remaining tick marks are blank. For the bottom number line, starting with the first tick mark, the percentages 0%, 25%, 50%, 75%, 100%, and 125% are labeled.

7.3 Representemos más jugo

Dos estudiantes están trabajando en el mismo problema:

Una caja de jugo tiene un 20% más de jugo en su nuevo empaque. El empaque original contenía 12 onzas líquidas. ¿Cuánto jugo contiene el nuevo empaque?

  • Priya planteó su recta numérica doble así:
    A double number line for “juice in fluid ounces” with 8 evenly spaced tick marks. The top number line, the number 0 is on the first tick mark, 12 on the sixth, and 14 point 4 on the seventh. The bottom number line, starting with the first tick mark, zero percent, 20 percent, 40 percent, 60 percent, 80 percent, 100 percent, 120 percent and 140 percent are labeled.
  • Clare planteó su recta numérica doble así:
    A double number line for “juice in fluid ounces” with 8 evenly spaced tick marks. The top number line has the number zero on the first tick mark, 12 on the fifth, and 15 on the sixth. The bottom number line, starting with the first tick mark, zero percent, 20 percent, 40 percent, 60 percent, 80 percent, 100 percent, 120 percent and 140 percent are labeled.

¿Estás de acuerdo con alguna de ellas? Explica o muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

El diagrama de Clare podría representar una disminución porcentual. Describe una situación que podría representarse con el diagrama de Clare.

7.4 Protejamos a la tortuga verde marina

Las tortugas verdes marinas viven la mayor parte de su vida en el océano, pero salen a la playa para poner sus huevos. Algunas playas donde las tortugas salen a menudo a tierra han sido convertidas en santuarios protegidos para que sus huevos no sean perturbados.

“Green sea turtle” por Dominique Feldwick-Davis vía Pexels. Pexels.
  1. El año pasado, 180 tortugas verdes marinas llegaron a un santuario para poner sus huevos . Este año, el número de tortugas aumentó en un 10%. ¿Cuántas tortugas llegaron a tierra para poner huevos en el santuario este año?
  2. En otro santuario, el número de tortugas que pusieron huevos disminuyó en un 10% con respecto al año pasado. 234 tortugas pusieron sus huevos este año. ¿Cuántas tortugas pusieron sus huevos en este santuario el año pasado?

Resumen de la lección 7

Podemos usar un diagrama de recta numérica doble para mostrar información sobre el aumento y la disminución porcentual: 

La cantidad inicial de cereal es 500 gramos, la cual está alineada con el 100% en el diagrama. Podemos encontrar un aumento del 20% de 500 agregando el 20% de 500:   

\begin{align}500+(0.2)\boldcdot 500 &= (1.20)\boldcdot 500\\&=600\end{align}

En el diagrama podemos ver que 600 corresponde al 120%. 

Si la cantidad inicial de 500 gramos disminuye en un 40%, podemos encontrar la cantidad de cereal restando el 40% de los 500 gramos:   

\begin{align}500−(0.4)\boldcdot 500 &= (0.6)\boldcdot 500\\&=300\end{align}

Entonces una disminución del 40% es lo mismo que el 60% de la cantidad inicial. En el diagrama podemos ver que 300 está alineado con un 60%. 

Para resolver problemas de porcentaje debemos tener claro qué es lo que corresponde al 100%. Por ejemplo, supongamos que hay 20 estudiantes en una clase y sabemos que esto representa un aumento del 25% con respecto al año pasado. En este caso, el número de estudiantes en la clase el año pasado corresponde al 100%. Por lo tanto, se desconoce la cantidad inicial (100%) y la cantidad final (125%) es 20 estudiantes. 

Observando la recta numérica doble, si 20 estudiantes equivale a un aumento del 25% con respecto al año anterior, entonces el año pasado hubo 16 estudiantes en la clase. 

Problemas de práctica de la lección 7

  1. Una panadería utilizó un 25% más de mantequilla este mes que el mes pasado. Si la panadería usó 240 kilogramos de mantequilla el mes pasado, ¿cuánto usó este mes?

  2. La semana pasada, el precio de las naranjas en el mercado agrícola era de $1.75 por libra. Esta semana, el precio ha disminuido en un 20%. ¿Cuál es el precio de las naranjas esta semana?

  3. Noah piensa que las respuestas a estas dos preguntas serán iguales. ¿Estás de acuerdo con él? Explica tu razonamiento.

    • Este año, una manada de bisontes tuvo un aumento del 10% en la población. Si había 550 bisontes en la manada el año pasado, ¿cuántos hay en la manada este año?
    • Este año, otra manada de bisontes tuvo una disminución del 10% en la población. Si hay 550 bisontes en la manada este año, ¿cuántos bisontes había el año pasado?

  4. Elena caminó 12 millas. Luego caminó 0.25 esa distancia. ¿Qué tan lejos caminó en total? Selecciona todas las opciones que correspondan.

    1. 12+0.25 \boldcdot 12
    2. 12\left(1+0.25\right)
    3. 12 \boldcdot 1.25
    4. 12 \boldcdot 0.25
    5. 12 + 0.25

  5. La circunferencia de un círculo es 600 m. ¿Cuál es una buena aproximación del área del círculo?

    1. 300 m2
    2. 3,000 m2
    3. 30,000 m2
    4. 300,000 m2

  6. La ecuación  d = 3t representa la relación entre la distancia ( d ) en pulgadas que hay entre un caracol y una roca, y el tiempo ( t ) en minutos.

    1. ¿Qué representa el número 3?
    2. ¿Cuántos minutos tarda el caracol en estar a 9 pulgadas de la roca? 
    3. ¿Qué tan lejos estará el caracol de la roca después de 9 minutos?