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Lección 1Relaciones entre cantidades

Intentemos resolver algunos nuevos tipos de problemas.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo pensar en maneras de resolver algunos problemas verbales más complicados.

1.1 Calculemos el precio de las palomitas de maíz

En un cine se venden palomitas de maíz en bolsas de diferentes tamaños. En la tabla se muestra el volumen y el precio de las bolsas de las palomitas de maíz.

Completa con precios una columna de la tabla en la que las palomitas de maíz tengan un precio con una tasa constante. Es decir, la cantidad de palomitas de maíz (volumen) debe ser proporcional al precio de la bolsa. Luego, completa con precios realistas la otra columna, en la cual, la cantidad de palomitas de maíz y el precio de la bolsa no deben ser proporcionales.

volumen palomitas de maíz (en onzas) precio de la bolsa, proporcional ($) precio de la bolsa, no proporcional ($)
10 6 6
20
35
48

1.2 Costos de entrada

Un parque estatal cobra un precio de entrada que se basa en el número de personas en un vehículo. A un automóvil que tiene dos personas se le cobra $14, a un automóvil con 4 personas se le cobra $20 y a una camioneta con 8 personas se le cobra $32.

  1. ¿Cuánto crees que se le cobrará a un autobús con 30 personas?
  2. Si a un autobús se le cobra $122, ¿cuántas personas crees que hay en el autobús?
  3. ¿Qué regla crees que usa el parque para decidir el precio de entrada por un vehículo?

1.3 Hacer tostadas

Una tostadora tiene 4 espacios para el pan. Cuando la tostadora se calienta, esta tarda 35 segundos para hacer 4 tajadas de pan tostado, 70 segundos para hacer 8 tajadas y 105 segundos para hacer 10 tajadas.

  1. ¿Cuánto tiempo crees que tomará hacer 20 tajadas?
  2. Si alguien hace tantas tajadas de pan tostado como sea posible en 4 minutos y 40 segundos, ¿cuántas tajadas crees que puede hacer?

¿Estás listo para más?

¿Cuál es el número más pequeño que tiene un residuo de 1, 2 y 3 cuando se divide entre 2, 3 y 4 respectivamente? ¿Hay otros números que tengan esta propiedad? 

Resumen de la lección 1

En la mayoría de nuestro trabajo anterior que involucraba relaciones entre dos cantidades, frecuentemente fuimos capaces de describir cantidades como "tanto más que otra cantidad" o "tantas veces otra cantidad". Escribimos ecuaciones como x+3=8 y  4x=20 y encontramos los valores para las incógnitas.

En esta unidad, veremos situaciones en las que las relaciones entre cantidades incluyen más operaciones. Por ejemplo, es posible que en una pizzería cobren las cantidades que se muestran en la tabla por la entrega de pizzas.

número de pizzas costo total en dólares
1 13
2 23
3 33
5 53

Podemos observar que cada pizza adicional suma $10 en el costo total y que cada total incluye un costo adicional de $3 que posiblemente es un costo por la entrega. En esta situación, 8 pizzas costarán 8\boldcdot 10 + 3 , y un costo total de $63 quiere decir que se ordenaron 6 pizzas. 

En esta unidad, veremos muchas situaciones como esta y aprenderemos cómo usar diagramas y ecuaciones para responder preguntas sobre cantidades desconocidas.

Problemas de práctica de la lección 1

  1. Lin y Tyler están dibujando círculos. El círculo de Tyler tiene el doble del diámetro del círculo de Lin. Tyler cree que su círculo también tendrá el doble del área del círculo de Lin. ¿Estás de acuerdo con Tyler?

  2. Jada y Priya intentan resolver la ecuación \frac23+x=4 .

    • Jada dice: "Pienso que debemos multiplicar cada lado por \frac32 porque eso es el recíproco de \frac23 ".

    • Priya dice: "Pienso que debemos sumar \text-\frac23 a cada lado porque eso es el opuesto de \frac23 ".

    1. ¿La estrategia de qué persona deberían usar?, ¿por qué?

    2. Escribe una ecuación que puede resolverse usando la estrategia de la otra persona.

  3. ¿Qué operaciones faltan?

    1. 48 ? (-8) = (-6)
    2. (-40) ? 8 =( -5)
    3. 12 ? (-2) = 14
    4. 18 ? (-12) = 6
    5. 18 ? (-20) = -2
    6. 22 ? (-0.5) = -11

  4. En fútbol americano, el equipo que tiene el balón tiene cuatro oportunidades de avanzar al menos diez yardas. Si no avanzan al menos diez yardas, el otro equipo obtiene el balón. Los números positivos representan un avance y los números negativos representan un retroceso. Selecciona todas las secuencias de cuatro jugadas que tengan como resultado que el equipo conserva el balón.

    1. 8, -3, 4, 21
    2. 30, -7, -8, -12
    3. 2, 16, -5, -3

  5. Una tienda de sándwiches cobra $20 por entregar 3 sándwiches de pavo y $26 por entregar 4.

    1. ¿La relación entre el número de sándwiches de pavo entregados y la cantidad cobrada es proporcional? Explica cómo lo sabes.
    2. ¿Cuánto cobra la tienda por 1 sándwich de pavo adicional?
    3. Describe una regla para determinar cuánto cobra la tienda basado en el número de sándwiches de pavo entregados.

  6. ¿Cuál pregunta no se puede responder con la solución a la ecuación 3x=27 ?

    1. Elena leyó 3 veces el número de páginas que leyó Noah. Ella leyó 27 páginas. ¿Cuántas páginas leyó Noah?
    2. Lin tiene 27 calcomanías. Le da 3 calcomanías a cada uno de sus amigos. ¿Con cuántos amigos compartió Lin sus calcomanías?
    3. Diego pagó $27 para que le entregaran 3 pizzas y $35 para que le entregaran 4 pizzas. ¿Cuál es el precio de una pizza?
    4. El entrenador divide un grupo de 27 estudiantes en 3 grupos para practicar sus habilidades. ¿Cuántos estudiantes hay en cada grupo?