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Lección 20Agrupemos términos semejantes (Parte 1)

Veamos cómo podemos saber que ciertas expresiones son equivalentes. 

Metas de aprendizaje:

  • Puedo averiguar si dos expresiones son equivalentes.
  • Según sea necesario, puedo escribir una expresión equivalente que tenga menos términos.

20.1 ¿Por qué es verdadero?

Explica por qué cada enunciado es verdadero. 

  1. 5+2+3=5+(2+3)
  2. 9a es equivalente a  11a-2a .
  3. 7a+4-2a es equivalente a  7a+\text-2a+4 .
  4. 8a-(8a-8) es equivalente a 8.

20.2 Las A y las B

Diego y Jada están intentando escribir una expresión con menos términos que sea equivalente a 7a + 5b - 3a + 4b

  • Jada piensa que 10a + 1b es equivalente a la expresión original.
  • Diego piensa que 4a + 9b es equivalente a la expresión original. 

  1. Podemos mostrar que las expresiones son equivalentes, escribiendo todas las variables. Explica por qué la expresión en cada fila (después de la primera fila) es equivalente a la expresión que está en la fila anterior. 7a+5b-3a+4b (a+a+a+a+a+a+a) + (b+b+b+b+b) - (a+a+a) + (b+b+b+b) (a+a+a+a) + (a+a+a) + (b+b+b+b+b) - (a+a+a) + (b+b+b+b) (a+a+a+a) + (b+b+b+b+b) + (a+a+a) - (a+a+a) + (b+b+b+b) (a+a+a+a) + (b+b+b+b+b) + (b+b+b+b) (a+a+a+a) + (b+b+b+b+b+b+b+b+b) 4a + 9b

  2. Esta es otra manera en la que podemos reescribir la expresión. Explica por qué la expresión en cada fila (después de la primera fila) es equivalente a la expresión anterior.  7a+5b-3a+4b 7a+5b+(\text-3a)+4b 7a+(\text-3a)+5b+4b (7+\text-3)a+(5+4)b 4a+9b

¿Estás listo para más?

Sigue las instrucciones para un reto numérico:

  • Toma el número formado por los 3 primeros dígitos de tu número telefónico y multiplícalo por 40
  • Suma 1 al resultado
  • Multiplica por 500
  • Suma el número formado por los 4 últimos dígitos de tu número telefónico, y luego súmalo de nuevo.
  • Resta 500
  • Multiplica por \frac12
  1. ¿Cuál es el número final?
  2. ¿Cómo funciona este reto numérico? 
  3. ¿Puedes inventarte un nuevo reto numérico que dé un resultado sorprendente? 

20.3 Hagamos que los lados sean iguales (Parte 1)

Reemplaza cada "?" por una expresión que haga que el lado izquierdo de la ecuación sea equivalente al lado derecho. 

Grupo A

  1. 6x+{?}=10x
  2. 6x+{?}=2x
  3. 6x+{?}=\text-10x
  4. 6x+{?}=0
  5. 6x+{?}=10

Revisa tus resultados con un compañero y resuelvan cualquier desacuerdo. Luego, continúa con el grupo B. 

Grupo B

  1. 6x - {?}= 2x
  2. 6x - {?} = 10x
  3. 6x - {?} = x
  4. 6x - {?} = 6
  5. 6x - {?} = 4x-10

Resumen de la lección 20

Hay muchas formas de escribir expresiones equivalentes que pueden parecer muy diferentes entre sí. Tenemos varias herramientas para averiguar si dos expresiones son equivalentes.

  • Dos expresiones definitivamente no son equivalentes si tienen valores diferentes al reemplazar sus variables por el mismo número. Por ejemplo, 2(\text-3+x)+8 y  2x+5 no son equivalentes, porque si x es igual a 1, la primera expresión es igual a 4 y la segunda expresión es igual a 7. 
  • Si dos expresiones son iguales para muchos valores diferentes con los que sustituimos la variable, entonces las expresiones pueden ser equivalentes, pero no estamos seguros de esto. Es imposible comparar las dos expresiones usando todos los valores. Para estar seguros, usamos las propiedades de las operaciones. Por ejemplo, 2(\text-3+x)+8 es equivalente a  2x+2 porque:

\begin{align} 2(\text-3+x)+8\\ \text-6+2x+8 & \quad\text{por la propiedad distributiva}\\ 2x+\text-6+8 & \quad\text{por la propiedad conmutativa}\\ 2x+(\text-6+8) & \quad\text{por la propiedad asociativa} \\ 2x+2 \\ \end{align}

Problemas de práctica de la lección 20

  1. Andre dice que  10x+6 y 5x+11 son equivalentes, porque ambas son iguales a 16 si x es 1. ¿Estás de acuerdo con Andre? Explica tu razonamiento.

  2. Selecciona todas las expresiones que se pueden restar de 9x para obtener la expresión 3x+5 .

    1. \text-5+6x
    2. 5-6x
    3. 6x+5
    4. 6x-5
    5. \text-6x+5

  3. Selecciona todas las afirmaciones que sean verdaderas para cualquier valor de x .

    1. 7x + (2x+7) = 9x+7
    2. 7x+(2x-1)=9x+1
    3. 3x + (10 - 3x)=10
    4. 5x - (8 - 6x) =\text-x-8
    5. 4x - (2x+8) =2x-8
    6. 6x - (2x -4)=4x+4

  4. Para cada situación, ¿la describirías con x< 25 , x > 25 , con x \leq 25 o con x \geq 25 ?

    1. La biblioteca está organizando una fiesta para cualquier estudiante que lea como mínimo 25 libros durante el verano. Priya leyó x libros y fue invitada a la fiesta.
    2. Kiran leyó x libros durante el verano, pero no fue invitado a la fiesta.
    3. A number line with the numbers 0 through 50, in increments of 5, indicated. A closed circle is indicated at 25 and an arrow is drawn from the closed circle extending to the left.
    4. A number line with the numbers 0 through 50, in increments of 5, indicated. An open circle is indicated at 25 and an arrow is drawn from the open circle extending to the right.

  5. Considera el problema: Una cubeta de agua se está llenando con agua de un grifo a una tasa constante. ¿Cuándo estará llena la cubeta? ¿Qué información necesitarías para poder resolver el problema?