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Lección 16Rectas paralelas y los ángulos de un triángulo

Veamos por qué los ángulos de un triángulo suman 180 grados.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo explicar usando dibujos por qué la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180 grados.

16.1 Verdadero o falso: relaciones de cálculo

¿Cada ecuación es verdadera o falsa?

62-28= 60-30

3\boldcdot \text{-}8= (2\boldcdot \text{-}8) - 8

\dfrac {16}{\text{-}2} + \dfrac{24}{\text{-}2} = \dfrac{40}{\text{-}2}

16.2 Un ángulo más otros dos

Este es el triángulo  ABC .

Selecciona la herramienta "Medio o centro" 

 y haz clic sobre dos puntos o sobre un segmento para encontrar el punto medio.
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  1. Rota el triángulo  ABC 180^\circ alrededor del punto medio del lado  AC . Haz clic derecho sobre el punto y selecciona "Renombrar" para marcar el nuevo vértice  D .

  2. Rota el triángulo  ABC 180^\circ alrededor del punto medio del lado  AB . Haz clic derecho sobre el punto y selecciona "Renombrar" para marcar el nuevo vértice E .

  3. Observa los ángulos  EAB , BAC y  CAD . Sin medir, escribe cuál crees que es la suma de las medidas de estos ángulos. Explica o muestra tu razonamiento. 

  4. ¿La medida del ángulo  EAB es igual a la medida de algún ángulo en el triángulo  ABC ? Si es así, ¿a cuál? Si no, ¿cómo lo sabes?

  5. ¿La medida del ángulo  CAD es igual a la medida de algún ángulo en el triángulo  ABC ? Si es así, ¿a cuál? Si no, ¿cómo lo sabes?

  6. ¿Cuánto es la suma de las medidas de los ángulos  ABC , BAC y  ACB ?

16.3 Todos los triángulos del mundo

Este es  \triangle ABC . El segmento de recta  DE es paralelo al segmento de recta AC .

  1. ¿A qué equivale  m{\angle DBA} + b + m{\angle CBE} ? Explica cómo lo sabes.

  2. Utiliza tu respuesta para explicar por qué  a + b + c = 180 .

  3. Explica por qué tu argumento funcionará para cualquier triángulo: es decir, explica por qué la suma de las medidas de los ángulos en cualquier triángulo es  180^\circ .

¿Estás listo para más?

  1. Usando una regla, crea algunos cuadriláteros. Utiliza un transportador para medir los cuatro ángulos al interior del cuadrilátero. ¿Cuál es la suma de las medidas de estos cuatro ángulos? 

  2. Inventa una explicación de por qué algo que observas debe ser cierto (pista: dibuja una diagonal en cada cuadrilátero). 

16.4 Retomemos los cuatro triángulos

Este diagrama muestra un cuadrado  BDFH que se ha formado por las imágenes del triángulo  ABC por medio de transformaciones rígidas.

Dado que el ángulo  BAC mide 53 grados, encuentra las medidas de tantos ángulos como puedas.

Resumen de la lección 16

Al utilizar rectas paralelas y rotaciones podemos comprender por qué los ángulos de un triángulo siempre suman  180^\circ . Este es el triángulo  ABC . La recta  DE es paralela a  AC y contiene a  B .

Una rotación de 180 grados del triángulo  ABC alrededor del punto medio de  AB intercambia los ángulos  A y  DBA , por lo que tienen la misma medida: en la imagen, estos ángulos están marcados como  x^\circ . Una rotación de 180 grados del triángulo  ABC alrededor del punto medio de  BC intercambia los ángulos  C y  CBE , por lo que tienen la misma medida: en la imagen, estos ángulos están marcados como  z^\circ . Además,  DBE es una línea recta porque las rotaciones de 180 grados llevan rectas a rectas paralelas. Entonces los tres ángulos con vértice  B forman una recta y suman  180^\circ  ( x + y + z = 180 ). Pero  x, y, z son las medidas de los tres ángulos de \triangle ABC , así que ¡la suma de los ángulos de un triángulo siempre es  180^\circ !

Problemas de práctica de la lección 16

  1. En cada triángulo, determina la medida del ángulo que falta.

  2. ¿Existe un triángulo con dos ángulos rectos? Explica tu razonamiento.

  3. En este diagrama, las rectas AB y  CD son paralelas.

    El ángulo  ABC mide  35^\circ y el ángulo  BAC mide  115^\circ .

    1. ¿Cuál es  m{\angle ACE} ?
    2. ¿Cuál es  m{\angle DCB} ?
    3. ¿Cuál es  m{\angle ACB} ?

  4. Las dos figuras son congruentes.

    1. Etiqueta los puntos  A’ , B’ y  C’ que corresponden a  A , B y  C en la figura de la derecha.
    2. Si el segmento  AB mide 2 cm, ¿cuál es la longitud del segmento  A’B’ ? Explica.
    3. Además de A y  C , se muestra el punto  D . ¿Cómo puedes encontrar el punto  D’ que corresponde a  D ? Explica tu razonamiento.