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Lección 7Polígonos semejantes

Examinemos los lados y los ángulos de polígonos semejantes.

Metas de aprendizaje:

  • Conozco la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes de los lados en polígonos semejantes.
  • Puedo usar las medidas de los ángulos y las longitudes de los lados para concluir que dos polígonos no son semejantes.

7.1 Todos, algunos, ninguno: congruencia y semejanza

Elige si cada una de las afirmaciones es verdadera en todos los casos, en algunos casos o en ningún caso. 

  1. Si dos figuras son congruentes, entonces son semejantes.
  2. Si dos figuras son semejantes, entonces son congruentes.
  3. Si una dilatación tiene como centro el vértice de un ángulo, la medida del ángulo puede cambiar.

7.2 ¿Son semejantes?

  1. Observemos un cuadrado y un rombo.

    Priya dice: "Estos polígonos son semejantes porque todas las longitudes de sus lados son iguales". Clare dice: "Estos polígonos no son semejantes porque los ángulos son diferentes". ¿Estás de acuerdo con Priya o con Clare? Explica tu razonamiento.
  2. Ahora, observemos los rectángulos  ABCD y  EFGH .

    Jada dice: "Estos rectángulos son semejantes porque todas las longitudes de los lados difieren en 2". Lin dice: "Estos rectángulos son semejantes. Puedo dilatar AD y BC usando un factor de escala de 1.5 para hacer que los rectángulos sean congruentes. Luego, puedo usar una traslación para alinear los rectángulos". ¿Estás de acuerdo con Jada o con Lin? Explica tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Los ocho puntos desde A hasta H se trasladan a la derecha para crear los ocho puntos desde A' hasta  H' . Las siguientes figuras son rectángulos: GHBA , FCED , KH'C'J y  LJE'A' . ¿Qué es más grande, el área del rectángulo azul DFCE o el área total de los rectángulos amarillos  KH'C'J y  LJE'A' ?

7.3 Encuentra alguno semejante

Tu profesor te entregará una tarjeta. Encuentra a alguien más en el salón que tenga una tarjeta con un polígono que sea semejante pero no congruente con el de tu tarjeta. Cuando hayas encontrado a tu compañero, trabajen juntos para explicar cómo saben que los dos polígonos son semejantes.

¿Estás listo para más?

A la izquierda hay un triángulo equilátero al que se le han agregado líneas punteadas que muestran cómo un triángulo equilátero se puede dividir en triángulos semejantes más pequeños.

Encuentra una manera de hacer lo mismo en la figura a la derecha, dividiéndola en figuras más pequeñas que sean cada una semejantes a la figura original. ¿Cuál es el menor número de partes que puedes utilizar? ¿El mayor? 

Resumen de la lección 7

Cuando dos polígonos son semejantes:

  • Cada ángulo y lado en un polígono tiene una parte correspondiente en el otro polígono. 
  • Todas los pares de ángulos correspondientes tienen la misma medida. 
  • Los lados correspondientes se relacionan con un único factor de escala. Cada longitud del lado de una figura se multiplica por el factor de escala para obtener la longitud del lado correspondiente en la otra figura. 

Analiza los dos rectángulos que se muestran aquí. ¿Son semejantes?

Parece que los rectángulos ABCD y EFGH podrían ser semejantes, si hacemos coincidir los lados largos y los lados cortos. Todos los ángulos correspondientes son congruentes porque todos son ángulos rectos. Al calcular el factor de escala entre los lados es cuando vemos que "parece" que no es suficiente para que sean semejantes. Para redimensionar el lado largo AB en el lado largo EF , el factor de escala debe ser  \frac34 , porque  4 \boldcdot \frac34=3 . Pero el factor de escala para hacer coincidir AD con EH tiene que ser  \frac23 , porque  3\boldcdot \frac23=2 . Entonces, los rectángulos no son semejantes porque los factores de escala para todas las partes deben ser iguales. 

Este es un ejemplo que muestra cómo los lados pueden corresponder (con un factor de escala de 1), pero los cuadriláteros no son semejantes porque los ángulos no tienen la misma medida:

Two quadrilaterals each wides opposite sides of 2 units and 3 units. The left quadrilateral has four right angles and the right quadrilateral has opposite angle that are equal.

Problemas de práctica de la lección 7

  1. El triángulo  DEF es una dilatación del triángulo  ABC con factor de escala 2. En el triángulo  ABC , el ángulo más grande mide  82^\circ . ¿Cuál es la medida del ángulo más grande del triángulo  DEF ?

    1. 41^\circ
    2. 82^\circ
    3. 123^\circ
    4. 164^\circ

  2. Dibuja dos polígonos que sean semejantes, pero que alguien pudiera confundirse y pensar (de forma incorrecta) que no son semejantes. Explica por qué son semejantes.

  3. Dibuja dos polígonos que no sean semejantes, pero que alguien pudiera confundirse y pensar (de forma incorrecta) que sí son semejantes. Explica por qué no son semejantes.

  4. Estos dos triángulos son semejantes. Encuentra las longitudes de los lados a y b . Nota: las dos figuras no están dibujadas a escala.

  5. Jada afirma que B'C'D' es una dilatación de  BCD al usar  A como centro de dilatación.

    ¿Cuáles son algunas maneras de convencer a Jada de que su afirmación no es verdadera?

    1. Dibuja un segmento de recta horizontal AB .
    2. Rota el segmento  AB 90^\circ en el sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto A . Etiqueta todos los puntos nuevos.
    3. Rota el segmento AB 90^\circ en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto  B . Etiqueta todos los puntos nuevos.
    4. Describe una transformación del segmento AB que podrías usar para terminar de construir un cuadrado.