Lección 10¿Sobre o fuera de la recta?

Interpretemos el significado de distintos puntos en un plano de coordenadas.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo identificar pares ordenados que son soluciones a una ecuación.
  • Puedo interpretar pares ordenados que son soluciones a una ecuación.

10.1 Cuál es diferente: rectas en el plano

¿Cuál es diferente? Explica tu razonamiento. 

10.2 Dinero en el bolsillo

Jada le dijo a Noah que ella tiene en su bolsillo $2 en monedas de veinticinco centavos y de diez centavos, y que en total tiene 17 monedas. Le pidió que adivinara cuántas monedas de cada tipo tiene.

  1. Esta es una tabla que muestra algunas combinaciones de monedas de veinticinco centavos y de diez centavos que valen $2. Completa la tabla.
número de monedas de veinticinco centavos número de monedas de diez centavos
0 20
4
0
5
  1. Esta es una gráfica de la relación entre el número de monedas de veinticinco centavos y el número de monedas de diez centavos cuando hay 17 monedas en total.
    1. ¿Qué representa el punto  A ?
    2. ¿Cuánto dinero en dólares vale la combinación representada por el punto  A ?
  2. ¿Es posible que Jada tenga 4 monedas de veinticinco centavos y 13 de diez centavos en su bolsillo? Explica tu razonamiento. 
  3. ¿Cuántas monedas de veinticinco centavos y de diez centavos debe tener Jada? Explica tu razonamiento.

10.3 Hagamos letreros

Clare y Andre están haciendo letreros para todos los casilleros como parte de las decoraciones para la próxima semana del orgullo escolar. Ayer Andre hizo 15 letreros y Clare hizo 5 letreros, y hoy necesitan hacer más. En el siguiente plano de coordenadas se muestra el progreso de cada persona el día de hoy.

Con base en las rectas, señala las afirmaciones como verdaderas o falsas, para cada persona. 

punto lo que dice la persona Clare Andre
A A los 40 minutos, tengo 25 letreros terminados.
B A los 75 minutos, tengo 42 letreros y medio terminados.
C A los 0 minutos, tengo 15 letreros terminados.
D A los 100 minutos, tengo 60 letreros terminados.

¿Estás listo para más?

  • 4 palillos forman 1 cuadrado
  • 7 palillos forman 2 cuadrados
  • 10 palillos forman 3 cuadrados

¿Observas un patrón? Si es así, ¿cuántos palillos necesitarías para hacer 10 cuadrados usando tu patrón? ¿Puedes representar tu patrón usando una expresión?

Resumen de la lección 10

En una unidad anterior estudiamos relaciones lineales. Aprendimos que los valores de x y y  que hacen verdadera una ecuación corresponden a los puntos  (x,y) en la gráfica. Por ejemplo, si tenemos  x libras de harina que cuestan $0.80 por cada libra y y libras de azúcar que cuestan $0.50 por cada libra, y el costo total es de $9.00, entonces podemos escribir la siguiente ecuación para representar la relación entre  x y :

0.8x + 0.5y = 9

Como 5 libras de harina cuestan $4.00 y 10 libras de azúcar cuestan $5.00, sabemos que  x = 5 , y = 10  es una solución a la ecuación, y el punto  (5, 10) es un punto en la gráfica. La recta que se muestra es la gráfica de la ecuación:

Observa que se muestran dos puntos que no están en la recta: ¿qué significan en el contexto? El punto  (1,14) significa que hay 1 libra de harina y 14 libras de azúcar. El costo total para esto es  0.8 \boldcdot 1 + 0.5 \boldcdot 14 $7.80. Ya que el costo no es $9.00, este punto no está en la gráfica. Asimismo, 9 libras de harina y 16 libras de azúcar cuestan  0.8 \boldcdot 9 + 0.5 \boldcdot 16 $15.20, de manera que el otro punto tampoco está en la gráfica.

Supongamos que también sabemos que una cantidad de harina y de azúcar pesan 15 libras. Eso significa que

x + y = 15

Si dibujamos la gráfica de esta ecuación en el mismo plano de coordenadas, observamos que pasa por dos de los tres puntos etiquetados:

El punto  (1,14) está sobre la gráfica de  x+y=15 pues 1 + 14 = 15 . También, 5 + 10 = 15 . Pero  9 + 16 \neq 15 , por lo que  (9, 16) no está en la gráfica de x+y = 15 . En general, si tenemos dos rectas en el mismo plano de coordenadas:

  • Las coordenadas de un punto que está en ambas rectas hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas.
  • Las coordenadas de un punto que está en una sola recta hacen que solo una ecuación sea verdadera.
  • Las coordenadas de un punto que no está sobre alguna recta hacen que ambas ecuaciones sean falsas.

Problemas de práctica de la lección 10

    1. Empareja las rectas  m y n con la afirmación que representen:
      1. Un conjunto de puntos en el que las coordenadas de cada punto tienen una suma de 2

      2. Un conjunto de puntos en el que la coordenada  y de cada uno de los puntos es 10 menos que la coordenada  x

    2. Empareja los puntos etiquetados en la gráfica con la afirmación sobre sus coordenadas:

      1. Dos números que sumen 2

      2. Dos números en los que la coordenada y sea 10 menos que la coordenada x

      3. Dos números que sumen 2 y en donde la coordenada y  sea 10 menos que la coordenada x

  1. Esta es una ecuación: 4x-4=4x+\text{__} . ¿Qué podrías escribir en el espacio para que la ecuación sea verdadera para cada caso?

    1. Ningún valor de x
    2. Todos los valores de x
    3. Un valor de x
  2. Mai gana $7 por hora cortando el césped de sus vecinos. Además, ganó $14 por sacar las bolsas reciclables de algunos vecinos. 

    Priya cuida a los hijos de su vecino. En la tabla se muestra la cantidad de dinero  m que ella gana en h horas. Priya y Mai han acordado ir al cine el fin de semana después de que las dos hayan ganado la misma cantidad de dinero por la misma cantidad de horas trabajadas. 

    h m
    1 $8.40
    2 $16.80
    4 $33.60
    1. ¿Cuántas horas tienen que trabajar antes de ir al cine?

    2. ¿Cuánto dinero habrán ganado?

    3. Explica en dónde se puede ver la solución en tablas de valores, gráficas y ecuaciones que representen las ganancias por hora de Priya y Mai.

  3. Para cada ecuación, explica lo que podrías hacer primero en cada lado de la ecuación para que no haya fracciones. No tienes que resolver las ecuaciones (a menos de que quieras practicar más).

    1. \dfrac{3x-4}{8} = \dfrac{x+2}{3}
    2. \dfrac{3(2-r)}{4} = \dfrac{3+r}{6}
    1. \dfrac{4p+3}{8} = \dfrac{p+2}{4}
    2. \dfrac{2(a-7)}{15} = \dfrac{a+4}{6}