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Lección 14Resolvamos más sistemas

Resolvamos sistemas de ecuaciones.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo usar la estructura de las ecuaciones como ayuda para averiguar cuántas soluciones tiene un sistema de ecuaciones.

14.1 Conversación algebraica: resolvamos sistemas mentalmente

Resuelve mentalmente cada sistema, sin escribir nada:

\begin{cases} x=5\\ y=x-7 \end{cases}

\begin{cases} y=4\\ y=x+3 \end{cases}

\begin{cases} x=8\\ y=\text-11 \end{cases}

14.2 Acepta el reto

Estos son muchos sistemas de ecuaciones:

A  \begin{cases} y= 4 \\ x=\text-5y+6 \end{cases}

B  \begin{cases} y= 7 \\ x=3y-4 \end{cases}

C  \begin{cases} y= \frac{3}{2}x+7 \\ x=\text-4 \end{cases}

D  \begin{cases} y= \text-3x+10 \\ y=\text-2x+6 \end{cases}

E  \begin{cases} y= \text-3x-5 \\ y=4x+30 \end{cases}

F  \begin{cases} y= 3x-2 \\ y=\text-2x+8 \end{cases}

G  \begin{cases} y= 3x \\ x=\text-2y+56 \end{cases}

H  \begin{cases} x=2y-15 \\ y= \text-2x \end{cases}

I  \begin{cases} 3x+4y=10 \\ x=2y \end{cases}

J  \begin{cases} y= 3x+2 \\ 2x+y = 47 \end{cases}

K  \begin{cases} y= \text-2x+5 \\ 2x+3y = 31 \end{cases}

L  \begin{cases} x+y=10 \\ x=2y +1 \end{cases}

  1. Sin resolverlos, identifica 3 sistemas que creas que serían los menos difíciles de resolver y 3 sistemas que serían los más difíciles de resolver. Prepárate para explicar tu razonamiento.
  2. Elige 4 sistemas para resolver. Al menos uno debe ser de tu lista de "menos difíciles" y otro debe ser de tu lista de "más difíciles".

14.3 Cinco no es igual a siete

Tyler estaba mirando este sistema de ecuaciones:

\begin{cases} x + y = 5\\x + y = 7 \end{cases}

Él dijo:

"Con solo mirar el sistema, puedo ver que no tiene solución. Si sumas dos números, esa suma no puede ser igual a dos números diferentes".

¿Estás de acuerdo con Tyler?

¿Estás listo para más?

En el rectángulo  ABCD , el lado  AB mide 8 centímetros y el lado  BC mide 6 centímetros. F es un punto en  BC y  E  es un punto en AB . El área del triángulo  DFC es 20 centímetros cuadrados y el área del triángulo DEF es 16 centímetros cuadrados. ¿Cuál es el área del triángulo  AED ? 

Resumen de la lección 14

Si tenemos un sistema de ecuaciones lineales y una de ellas es de la forma  y=\text{[alguna cosa]} o  x=\text{[alguna cosa]} , podemos resolverlo algebraicamente usando una técnica llamada sustitución. La idea básica es remplazar una variable con una expresión a la que es igual (por lo que la expresión sustituye o reemplaza la variable). Por ejemplo, comencemos con el sistema:

\begin{cases} y = 5x\\2x - y = 9 \end{cases}

Como sabemos que  y = 5x , podemos remplazar a y por 5x en la siguiente ecuación 2x - y = 9 ,

2x - (5x) = 9,

luego, resolvemos la ecuación para  x ,

x =\text -3.

Podemos encontrar el valor de  y usando cualquier ecuación. Por ejemplo, al usar la primera ecuación:  y = 5 \boldcdot \text-3 . Entonces

(\text-3,\text -15)

es la solución de este sistema. Podemos comprobar esta respuesta al observar las gráficas de las ecuaciones:

¡Sin duda! Las rectas se intersecan en el punto  (\text-3, \text-15) .

No lo sabíamos en ese momento, pero en realidad también estábamos usando sustitución en la última lección. En esa lección, observamos el sistema

\begin{cases} y = 2x + 6 \\ y  = \text-3x - 4 \end{cases}

y remplazamos  2x+6 por  y en la segunda ecuación para obtener 2x+6=\text-3x-4 . ¡Regresa y compruébalo por ti mismo!

Problemas de práctica de la lección 14

  1. Resuelve: \begin{cases} y=6x \\ 4x+y=7 \\ \end{cases}

  2. Resuelve: \begin{cases} y=3x \\ x=\text-2y+70 \\ \end{cases}

  3. ¿Cuál ecuación, junto con  y=\text-1.5x+3 , crea un sistema con una solución?

    1. y=\text-1.5x+6

    2. y=\text-1.5x

    3. 2y=\text-3x+6

    4. 2y+3x=6

    5. y=\text-2x+3

  4. El sistema  x-6y=4 , 3x-18y=4 no tiene solución.

    1. Cambia una constante o un coeficiente para crear un nuevo sistema que tenga una solución. 

    2. Cambia una constante o un coeficiente para crear un nuevo sistema que tenga infinitas de soluciones. 

  5. Empareja cada gráfica con su ecuación

    1. y=2x+3
    2. y=\text-2x+3
    3. y=2x-3
    4. y=\text-2x-3

  6. Estos son dos puntos: (\text-3,4) , (1,7) . ¿Cuál es la pendiente de la recta que los contiene?

    1. \frac43
    2. \frac34
    3. \frac16
    4. \frac23