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Lección 20El volumen de una esfera

Exploremos esferas y sus volúmenes. 

Metas de aprendizaje:

  • Puedo encontrar el volumen de una esfera si conozco el radio.

20.1 Dibujemos una esfera

Este es un método para dibujar rápidamente una esfera:

  • Dibuja un círculo. 
  • Dibuja un óvalo en el medio cuyos bordes toquen la esfera. 
Two figures that demonstarte how to sketch a sphere. The first image is a circle. An arrow points from the first image to the second image. The second image is the image of the first circle, with a horizontal oval drawn in the middle whose edges touch the sphere. The "front" half of the oval is a solid line, the "back" half of the oval is a dashed line.
  1. Practica dibujar algunas esferas. Dibújalas de tamaños diferentes. 
  2. Para cada bosquejo, dibuja un radio y etiquétalo con r .

20.2 Una esfera en un cilindro

An image with three shapes: a cone, a sphere and a cylinder.
Estos son un cono, una esfera y un cilindro todos con los mismos radios y alturas. El radio del cilindro es 5 unidades. Si es necesario, expresa todas las respuestas en términos de \pi . 
  1. ¿Cuál es la altura del cilindro? 
  2. ¿Cuál es el volumen del cilindro? 
  3. ¿Cuál es el volumen del cono? 
  4. ¿Cuál es el volumen de la esfera? Explica tu razonamiento. 

20.3 Esferas en cilindros

An image of three shapes; a cone, a sphere, and a cylinder.

Estos son un cono, una esfera y un cilindro que tienen todos los mismos radios y las mismas alturas. Digamos que el radio del cilindro es r  unidades. Cuando sea necesario, expresa las respuestas en términos de \pi . 

  1. ¿Cuál es la altura del cilindro en términos de r ?
  2. ¿Cuál es el volumen del cilindro en términos de r ?
  3. ¿Cuál es el volumen del cono en términos de r ?
  4. ¿Cuál es el volumen de la esfera en términos de r ?
  5. El volumen del cono es \frac13 del volumen de un cilindro. ¿Qué fracción del volumen del cilindro es el volumen de la esfera? 

Resumen de la lección 20

Piensa en una esfera con radio  r unidades que cabe de manera ajustada dentro de un cilindro. Si este es el caso, el cilindro debe tener un radio de  r unidades y una altura de  2r unidades. Si usamos lo que hemos aprendido sobre volumen, el cilindro tiene un volumen de  \pi r^2 h = \pi r^2 \boldcdot (2r) , lo que es igual a  2\pi r^3 unidades cúbicas.

Sabemos por una lección anterior que el volumen de un cono que tiene la misma base y la misma altura de un cilindro tiene \frac{1}{3} del volumen del cilindro. En este ejemplo, ese cono tiene un volumen de \frac{1}{3} \boldcdot \pi r^2 \boldcdot 2r o simplemente  \frac{2}{3} \pi r^3 unidades cúbicas.

A cone, a sphere and a cylinder. The height of the cone is labeled "2 r" and the radius of the cone is labeled "r." The radius of the sphere is labeled "r." The height of the cylinder is labeled "2 r" and the radius of the cylinder is labeled "r."

Si llenamos el cono y la esfera con agua y luego vertimos toda el agua en el cilindro, el cilindro quedará completamente lleno. Esto significa que el volumen de la esfera y el volumen del cono se suman al volumen del cilindro. En otras palabras, si  V es el volumen de la esfera, entonces: 

V +\frac{2}{3}\pi r^3= 2 \pi r^3

Esto nos lleva a la fórmula del volumen de la esfera:

V = \frac{4}{3} \pi r^3

Problemas de práctica de la lección 20

  1. Empareja la descripción de cada esfera con su volumen correcto.

    1. Esfera A: 4 cm de radio
    2. Esfera B: 6 cm de diámetro
    3. Esfera C: 8 cm de radio
    4. Esfera D: 6 cm de radio
    1. 288\pi cm3
    2. \frac{256}3 \pi cm3
    3. 36\pi cm3
    4. \frac {2048}3 \pi cm3

    1. El volumen de un cubo es 512 unidades cúbicas. ¿Cuál es la longitud de su arista?

    2. Si una esfera cabe exactamente dentro de este cubo, ¿cuál es su volumen?

    3. ¿Qué fracción del cubo ocupa la esfera? ¿Qué porcentaje es este? Explica o muestra tu razonamiento.

  3. La esfera A tiene 2 cm de radio. La esfera B tiene 4 cm de radio.

    1. Calcula el volumen de cada esfera.
    2. El radio de la esfera B es el doble del radio de la esfera A. ¿Cuántas veces mayor es el volumen de B?
  4. Tres conos tienen cada uno un volumen de 192\pi cm3. El cono A tiene un radio de 2 cm. El cono B tiene un radio de 3 cm. El cono C tiene un radio de 4 cm. Determina la altura de cada cono.

  5. La gráfica representa el precio promedio de la gasolina corriente en los Estados Unidos (en dólares) como una función del número de meses después de enero de 2014.

    1. ¿Cuántos meses después de enero de 2014 se presentó el precio más alto de la gasolina?
    2. ¿En algún momento el precio promedio de la gasolina estuvo por debajo de $2?
    3. Describe qué sucedió con el precio promedio de la gasolina en 2014.

  6. Mientras el propietario de una tienda de bicicletas realiza el inventario, él observa que el número de bicicletas es 2 menos que 10 veces el número de triciclos. Él también sabe que entre bicicletas y triciclos hay 410 ruedas en la tienda. Escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para encontrar el número de bicicletas que hay en la tienda.