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Lección 1Repasemos exponentes

Repasemos exponentes. 

Metas de aprendizaje:

  • Comprendo el significado de un término con un exponente.
  • Puedo usar exponentes para describir una multiplicación repetida.

1.1 Cuál es diferente: usemos al dos

¿Cuál expresión es diferente? Prepárate para explicar tu razonamiento.

2^3

8

3^2

2^2\boldcdot 2^1

1.2 El regreso del genio

Mai y Andre encontraron una vieja botella de bronce que tenía un genio mágico. Liberaron al genio y él ofreció a cada uno una moneda mágica de $1 como agradecimiento. La moneda mágica se convirtió en 2 monedas el primer día. Las 2 monedas se convirtieron en 4 monedas el segundo día. En el tercer día, las 4 monedas se convirtieron en 8 monedas mágicamente, y este patrón continuó durante 28 días.

Haz clic en la flecha para ver a las monedas multiplicarse mágicamente.

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Mai estaba intentando calcular cuántas monedas tendría y recordó que, en lugar de escribir  1 \boldcdot 2 \boldcdot 2 \boldcdot 2 \boldcdot 2 \boldcdot 2 \boldcdot 2 para calcular el número de monedas en el día 6, ella podría simplemente escribir 2^6 .

  1. La cantidad de monedas que Mai tendría el día 28 es demasiado grande. Escribe una expresión para representar este número sin calcular su valor.
  2. Las monedas de Andre perdieron su magia en el día 25, así que Mai tiene muchas más monedas que él. ¿La cantidad de monedas de Mai es cuántas veces mayor que la cantidad de monedas de Andre?

1.3 La moneda rota

Después de un rato, Jada recoge una moneda que al parecer es distinta de las otras. Al siguiente día, observa que ¡solo queda la mitad de la moneda! En el segundo día, solo queda  \frac{1}{4} de la moneda. En el tercer día, queda  \frac{1}{8} de la moneda.

  1. ¿Qué fracción de la moneda queda después de 6 días?
  2. ¿Qué fracción de la moneda queda después de 28 días? Escribe una expresión que describa esto sin calcular su valor. 
  3. ¿La moneda desaparece por completo? Si es así, ¿después de cuántos días?

Mira la moneda mágica cambiando por diez días con este applet. 

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¿Estás listo para más?

Tyler tiene dos padres y cada uno de sus padres también tiene dos padres.

  1. Dibuja un árbol de la familia que muestre a Tyler, sus padres, sus abuelos y sus bisabuelos.
  2. Decimos que los ocho bisabuelos de Tyler están "tres generaciones atrás" de Tyler. ¿En qué generación remota Tyler tiene 262,144 antepasados?

Resumen de la lección 1

Los exponentes facilitan mostrar la multiplicación repetida. Por ejemplo, 2^6 = 2 \boldcdot 2 \boldcdot 2 \boldcdot 2 \boldcdot 2 \boldcdot 2. Una ventaja de escribir  2^6 es que podemos ver de inmediato que esto es 2 a la sexta potencia. Cuando esto se escribe usando la multiplicación, 2 \boldcdot 2 \boldcdot 2 \boldcdot 2 \boldcdot 2 \boldcdot 2 , es necesario contar el número de factores. ¡Imagina escribir  2^{100} usando multiplicación!

Supongamos que comienzas con un grano de arroz y que cada día el número de granos de arroz se duplica. Entonces, en el primer día tienes 2 granos, en el segundo día tienes 4 granos, y así sucesivamente. Cuando escribimos  2^{25} , podemos observar en la expresión que la cantidad de arroz se ha duplicado 25 veces. Así, esta notación no solo es conveniente, sino que también nos ayuda a ver la estructura: en este caso, ¡podemos ver de inmediato que en el día 25, el número de granos de arroz se ha duplicado exactamente 25 veces! ¡Esto es demasiado arroz (más de un metro cúbico)!

Problemas de práctica de la lección 1

  1. Escribe cada expresión usando un exponente:

    1. 1 \boldcdot 7 \boldcdot 7 \boldcdot 7 \boldcdot 7 \boldcdot 7
    2. 1 \boldcdot \left(\frac{4}{5}\right) \boldcdot \left(\frac{4}{5}\right) \boldcdot \left(\frac{4}{5}\right) \boldcdot \left(\frac{4}{5}\right) \boldcdot \left(\frac{4}{5}\right)
    3. 1 \boldcdot (9.3) \boldcdot (9.3) \boldcdot (9.3) \boldcdot (9.3) \boldcdot (9.3) \boldcdot (9.3) \boldcdot (9.3) \boldcdot (9.3)
    4. El número de monedas que Jada tendrá el octavo día, si ella empieza con una moneda y el número de monedas se duplica cada día. (Ella tiene dos monedas el primer día en que se duplican).

  2. Resuelve cada expresión:

    1. 2^5
    2. 3^3
    3. 4^3
    1. 6^2
    2. \left(\frac{1}{2}\right)^4
    3. \left(\frac{1}{3}\right)^2

  3. El verano pasado, Clare ganó $160 cuidando niños. Ella colocó el dinero en una cuenta de ahorros que paga un interés de 3% por año. Si Clare decide no tocar el dinero de su cuenta, ella puede calcular el monto que tendrá el próximo año si multiplica la cantidad actual por 1.03.

    1. ¿Cuánto dinero tendrá Clare en su cuenta después de 1 año? ¿Después de 2 años?
    2. ¿Cuánto dinero tendrá Clare en su cuenta después de 5 años? Explica tu razonamiento.
    3. Escribe una expresión que muestre la cantidad de dinero que Clare podría tener después de 30 años si ella nunca retira dinero de su cuenta. 

  4. La ecuación y=5,\!280x  da la cantidad de pies, y , en  x millas. ¿Qué representa el número 5,280 en esta relación?

  5. Los puntos  (2, 4) y  (6, 7) están sobre una recta. ¿Cuál es la pendiente de la recta?

    1. 2
    2. 1
    3. \frac43
    4. \frac34

  6. El diagrama muestra una pareja de figuras semejantes, una contenida en la otra. Nombra un punto y un factor de escala de una dilatación que lleve la figura grande a la pequeña.