Unidad 4 División de fracciones (Materiales para la familia)

Sección A Comprendamos el sentido de la división

Esta semana, nuestros estudiantes va a estar pensando en los sentidos de la división y así prepararse para aprender sobre la división de fracciones. Supongamos que tenemos 10 litros de agua que queremos dividir en grupos del mismo tamaño. Podemos pensar en la división $10 \div 2$ de dos maneras distintas (o como la respuesta a dos preguntas distintas):

“¿Cuántas botellas podemos llenar con 10 litros si cada botella es de 2 litros?”
“¿Cuántos litros caben en cada botella si dividimos 10 litros en 2 botellas?”

Estos son dos diagramas que muestran las dos interpretaciones de $10 \div 2$ :

En ambos casos, la respuesta a la pregunta es 5, pero este puede significar, o que “hay 5 botellas con dos litros en cada una”, o que “caben 5 litros en cada una de las dos botellas”.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Escriban dos preguntas distintas acerca de $15 \div 6$ .
Estimen la respuesta: ¿es menor que 1, igual a 1 o mayor que 1? Expliquen su estimación.
Encuentren la respuesta a una de las preguntas que escribieron. Hacer un dibujo puede ayudarlos.

Solución:

Las preguntas pueden variar. Ejemplos de preguntas:
- Una cinta de 15 pulgadas de longitud se divide en 6 pedazos iguales. ¿Qué tan largo es cada pedazo (en pulgadas)?
- Una cinta de 15 pulgadas de longitud se divide en pedazos de 6 pulgadas cada uno. ¿Cuántos pedazos hay?
Mayor que 1. Ejemplos de explicaciones:
- $12 \div 6$ es 2, por lo tanto, $15 \div 6$ debe ser mayor que 2.
- Si dividimos 15 en 15 grupos ( $15 \div 15$ ), obtenemos 1 (es decir, 1 en cada grupo). Entonces, si dividimos 15 en 6, que es un número más pequeño de grupos, la cantidad en cada grupo debe ser mayor que 1.
$2 \frac{1}{2}$ . Ejemplo de diagrama:

Sección B Significados de la división de fracciones

En una lección anterior, nuestros estudiantes aprendieron que divisiones como $10 \div 2 = ?$ se pueden interpretar como “¿Cuántos grupos de 2 hay en 10” (es decir, cuántos grupos de 2 podemos formar con 10) o “¿Cuánto hay en cada grupo si hay 10 en 2 grupos?” (es decir, cuánto queda en cada grupo si repartimos 10 en 2 grupos). También aprendieron que la relación entre el 10, el 2 y el número desconocido (”?”) se puede expresar con una multiplicación: $2 \cdot ? = 10$ $? \cdot 2 = 10$

Esta semana, usarán estas mismas ideas para dividir fracciones. Por ejemplo, $6 \div 1 \frac{1}{2} = ?$ se puede pensar como “¿Cuántos grupos de $1 \frac{1}{2}$ hay en 6?” (es decir, cuántos grupos de $1 \frac{1}{2}$ podemos formar con 6). Si expresamos la pregunta como una multiplicación y dibujamos un diagrama, esto puede ayudarnos a encontrar la respuesta. $? \cdot 1 \frac{1}{2} = 6$

En el diagrama podemos contar y ver que hay 4 grupos de $1 \frac{1}{2}$ en 6.

También podemos pensar en $6 \div 1 \frac{1}{2} = ?$ como “¿Cuánto hay en cada grupo si hay $1 \frac{1}{2}$ grupos iguales en 6?” (es decir, cuánto habrá en cada grupo si repartimos 6 en $1 \frac{1}{2}$ grupos iguales). Aquí un diagrama también nos puede ayudar.

A partir del diagrama vemos que hay tres $\frac{1}{2}$ grupos en 6. Esto quiere decir que hay 2 en cada $\frac{1}{2}$ grupo, o 4 en 1 grupo.

En ambos casos $6 \div 1 \frac{1}{2} = 4$ , pero ese 4 puede tener significados distintos, dependiendo de cómo se interprete la división.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

¿Cuántos grupos de $\frac{2}{3}$ hay en 5? (es decir, ¿cuántos grupos de $\frac{2}{3}$ podemos formar con 5?)
1. Escriban una ecuación de división para representar la pregunta. Usen “?” para representar la cantidad desconocida.
2. Encuentren la respuesta. Expliquen o muestren su razonamiento.
Un bulto de harina pesa 4 libras. Un vendedor reparte la harina en bolsas del mismo tamaño.
1. Escriban una pregunta que $4 \div \frac{2}{5} = ?$ podría representar en esta situación.
2. Encuentren la respuesta. Expliquen o muestren su razonamiento.

Solución:

1. $5 \div \frac{2}{3} = ?$
2. $7 \frac{1}{2}$ . Ejemplo de razonamiento: Hay 3 tercios en 1, entonces, hay 15 tercios en 5. Por lo tanto, hay la mitad de 2 tercios, o $\frac{15}{2}$ dos tercios, en 5.
1. 4 libras de harina se dividen equitativamente en bolsas de $\frac{2}{5}$ libras cada una. ¿Cuántas bolsas habrá en total?
2. 10 bolsas. Ejemplo de razonamiento: se parte cada 1 libra en quintos y luego se cuenta cuántos grupos de $\frac{2}{5}$ hay.

Sección C Algoritmo para la división de fracciones

Muchas personas han aprendido que para dividir entre una fracción, “invertimos y multiplicamos”. Esta semana, nuestros estudiantes aprenderán por qué esto funciona. Para ello, van a estudiar varios enunciados de división y diagramas como estos:

$2 \div \frac{1}{3} = ?$ se puede ver como “¿Cuántos tercios ( $\frac{1}{3}$ ) hay en 2?”
Como hay 3 tercios en 1, hay $(2 \cdot 3)$ o 6 tercios en 2. Así que al dividir 2 entre $\frac{1}{3}$ se obtiene el mismo resultado que al multiplicar 2 por 3.
$2 \div \frac{2}{3} = ?$ se puede ver como “¿Cuántos $\frac{2}{3}$ hay en 2?”
Ya sabemos que hay $(2 \cdot 3)$ o 6 tercios en 2. Para encontrar cuántos $\frac{2}{3}$ hay en 2, debemos juntar cada 2 de los tercios para formar un grupo. Al hacer esto, obtenemos la mitad de los grupos que ya teníamos. Así, $2 \div \frac{2}{3} = (2 \cdot 3) \div 2$ , que es igual a 3.
$2 \div \frac{4}{3} = ?$ puede verse como “¿Cuántos $\frac{4}{3}$ hay en 2?”
De nuevo, sabemos que hay $(2 \cdot 3)$ tercios en 2. Para encontrar cuántos $\frac{4}{3}$ hay en 2, debemos juntar cada 4 de los tercios para formar un grupo. Al hacer esto, obtenemos una cuarta parte de los grupos que ya teníamos (los del primer ejemplo). Así, $2 \div \frac{4}{3} = (2 \cdot 3) \div 4$ , que es igual a $1 \frac{1}{2}$ .

Observen que cada uno de los problemas de división presentados arriba puede solucionarse multiplicando 2 por el denominador del divisor y luego dividiendo entre el numerador. Así, $2 \div \frac{a}{b}$ se puede resolver calculando $2 \cdot b \div a$ , lo que también puede escribirse como $2 \cdot \frac{b}{a}$ . En otras palabras, al dividir 2 entre $\frac{a}{b}$ se obtiene el mismo resultado que al multiplicar 2 por $\frac{b}{a}$ . La fracción del divisor se “invierte” y luego se multiplica.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Hallen cada cociente. Muestren su razonamiento.
1. $3 \div \frac{1}{7}$
2. $3 \div \frac{3}{7}$
3. $3 \div \frac{6}{7}$
4. $\frac{3}{7} \div \frac{6}{7}$
¿Cuál es mayor: $\frac{9}{10} \div \frac{9}{100}$ o $\frac{12}{5} \div \frac{6}{25}$ ? Expliquen o muestren su razonamiento.

Solución:

1. 21. Ejemplo de razonamiento: $3 \div \frac{1}{7} = 3 \cdot \frac{7}{1} = 21$
2. 7. Ejemplo de razonamiento: $3 \div \frac{3}{7} = 3 \cdot \frac{7}{3} = 7$
3. $3 \frac{1}{2}$ . Ejemplo de razonamiento: $3 \div \frac{1}{7} = 3 \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{2}$ . La fracción $\frac{6}{7}$ es dos veces $\frac{3}{7}$ , por lo tanto hay la mitad de $\frac{6}{7}$ en 3 que de $\frac{3}{7}$ en 3 (es decir: la cantidad de $\frac{6}{7}$ en 3 es la mitad de la cantidad de $\frac{3}{7}$ en 3).
4. $\frac{1}{2}$ . Ejemplo de razonamiento: $\frac{3}{7} \div \frac{6}{7} = \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{6} = \frac{3}{6}$
Tienen el mismo valor. Ambos son iguales a 10. $\frac{9}{10} \div \frac{9}{100} = \frac{9}{10} \cdot \frac{100}{9} = 10$ , y $\frac{12}{5} \div \frac{6}{25} = \frac{12}{5} \cdot \frac{25}{6} = 10$ .

Sección D Fracciones en longitudes, áreas y volúmenes

Durante los siguientes días, nuestros estudiantes van a estar resolviendo problemas en donde se necesita multiplicar y dividir fracciones. Algunos de esos problemas serán sobre comparación. Por ejemplo:

Si Priya corrió durante $\frac{5}{6}$ hora y Clare corrió durante $\frac{3}{2}$ horas, ¿qué fracción del tiempo que corrió Clare fue el tiempo que corrió Priya?
Podemos dibujar un diagrama y escribir una ecuación de multiplicación para dar sentido a la situación.
$(fracción) \cdot (Tiempo de Clare) = (Tiempo de Priya)$
$? \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{6}$ Podemos encontrar la cantidad desconocida si dividimos. $\frac{5}{6} \div \frac{3}{2} = \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{3}$ , es igual a $\frac{10}{18}$ . Así que el tiempo que corrió Priya fue $\frac{10}{18}$ (o $\frac{5}{9}$ ) del tiempo de Clare.

Otro tipo de problemas que nuestros estudiantes van a resolver están relacionados con la geometría: longitudes, áreas y volúmenes. Algunos ejemplos:

¿Cuál es el largo de una habitación rectangular si su ancho es $2 \frac{1}{2}$ metros y su área es $11 \frac{1}{4}$ metros cuadrados?
Sabemos que podemos encontrar el área de un rectángulo multiplicando su largo por su ancho ( $? \cdot 2 \frac{1}{2} = 11 \frac{1}{4}$ ), así que si dividimos $11 \frac{1}{4} \div 2 \frac{1}{2}$ (o $\frac{45}{4} \div \frac{5}{2}$ ) obtendremos el largo de la habitación. $\frac{45}{4} \div \frac{5}{2} = \frac{45}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{9}{2}$ . La habitación tiene $4 \frac{1}{2}$ metros de largo.
¿Cuál es el volumen de una caja (un prisma rectangular) de $3 \frac{1}{2}$ pies por 10 pies por $\frac{1}{4}$ pies?
Podemos hallar el volumen multiplicando las longitudes de los lados. $3 \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{2} \cdot 10 \cdot \frac{1}{4}$ , que es igual a $\frac{70}{8}$ . Por lo tanto, el volumen es $\frac{70}{8}$ o $8 \frac{6}{8}$ pies cúbicos.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

En el primer ejemplo sobre los tiempos que corrieron Priya y Clare, ¿cuántas veces el tiempo que corrió Priya fue el tiempo que corrió Clare? Muestren su razonamiento.
El área de un rectángulo es $\frac{20}{3}$ pies cuadrados. ¿Cuál es su ancho si su largo es $\frac{4}{3}$ pies? Muestren su razonamiento.

Solución:

$\frac{9}{5}$ . Ejemplo de razonamiento: podemos escribir $? \cdot \frac{5}{6} = \frac{3}{2}$ para representar la pregunta “¿Cuántas veces el tiempo que corrió Priya fue el tiempo que corrió Clare?” y luego resolverla dividiendo. $\frac{3}{2} \div \frac{5}{6} = \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{5} = \frac{18}{10}$ . El tiempo que corrió Clare fue $\frac{18}{10}$ (es decir, $\frac{9}{5}$ ) del tiempo que corrió Priya.
5 pies. Ejemplo de razonamiento: $\frac{20}{3} \div \frac{4}{3} = \frac{20}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{20}{4} = 5$