Unidad 4 Ecuaciones lineales y sistemas lineales (Materiales para la familia)

Sección A Problemas de acertijos

Esta semana nuestros estudiantes van a resolver ecuaciones lineales. Podemos pensar en un colgador balanceado como una metáfora para una ecuación. Una ecuación dice que las expresiones de cada lado del signo $=$ tienen el mismo valor, así como un colgador balanceado tiene el mismo peso a cada lado.

Si tenemos un colgador balanceado y agregamos o quitamos la misma cantidad de peso a cada lado, el resultado seguirá estando balanceado.

Podemos hacer lo mismo con ecuaciones: sumar o restar la misma cantidad a cada lado de la ecuación hace que un lado siga siendo igual al otro. Por ejemplo, si $4 x + 20$ y $- 6 x + 10$ tienen el mismo valor, podemos escribir la ecuación $4 x + 20 = - 6 x + 10$ . Podríamos sumar -10 a ambos lados de la ecuación o dividir ambos lados de la ecuación entre 2, y mantener ambos lados iguales. Si usamos estas movidas de manera sistemática, podemos encontrar que $x = - 1$ es una solución a esta ecuación.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Elena y Noah trabajan con la ecuación $\frac{1}{2} (x + 4) = - 10 + 2 x$ . La solución de Elena es $x = 24$ y la solución de Noah es $x = - 8$ . Este es el trabajo de ellos:

Elena:

$\begin{aligned} \frac{1}{2} (x + 4) & = - 10 + 2 x \\ x + 4 & = - 20 + 2 x \\ x + 24 & = 2 x \\ 24 & = x \\ x & = 24 \end{aligned}$

Noah:

$\begin{aligned} \frac{1}{2} (x + 4) & = - 10 + 2 x \\ x + 4 & = - 20 + 4 x \\ - 3 x + 4 & = - 20 \\ - 3 x & = - 24 \\ x & = - 8 \end{aligned}$

¿Están de acuerdo con sus soluciones? Expliquen o muestren su razonamiento.

Solución:

No, ambos cometieron errores en su solución.

En su primer paso, Elena multiplicó ambos lados de la ecuación por 2, pero olvidó multiplicar el $2 x$ por el 2. También podemos verificar si la respuesta de Elena es correcta si reemplazamos $x$ por 24 en la ecuación original y verificamos si la ecuación es verdadera. $\frac{1}{2} (x + 4) = - 10 + 2 x$ $\frac{1}{2} (24 + 4) = - 10 + 2 (24)$ $\frac{1}{2} (28) = - 10 + 48$ $14 = 38$ Como 14 no es igual a 38, la respuesta de Elena no es correcta.

En su último paso, Noah dividió ambos lados entre -3, pero escribió -8 en vez de $8$ al calcular $- 24 \div - 3$ . También podemos verificar la respuesta de Noah si reemplazamos $x$ por -8 en la ecuación original y verificamos si la ecuación es verdadera. La respuesta de Noah no es correcta.

Sección C Sistemas de ecuaciones lineales

Esta semana nuestros estudiantes van a trabajar con sistemas de ecuaciones. Un sistema de ecuaciones es una colección de 2 (o más) ecuaciones en las cuales las letras representan los mismos valores. Por ejemplo, supongamos que el automóvil A viaja a 75 millas por hora y pasa una zona de descanso. La distancia recorrida (en millas) desde la zona de descanso luego de un tiempo de $t$ horas es $d = 75 t$ . El automóvil B viaja hacia la zona de descanso y su distancia hasta ella en cualquier tiempo es $d = 14 - 65 t$ . Podemos preguntarnos si habrá un cierto tiempo en el cual la distancia del automóvil A a la zona de descanso sea la misma que la distancia del automóvil B a la zona de descanso. Si la respuesta es “sí”, entonces la solución corresponde a un punto que se encuentra sobre ambas rectas, como el punto $(0.1, 7.5)$ que se muestra abajo. 0.1 horas después de que el automóvil A pasa la zona de descanso, ambos automóviles están a 7.5 millas de la zona de descanso.

También podríamos responder a la pregunta sin usar una gráfica. Estamos preguntando cuándo los valores de $d$ para cada automóvil serán iguales; es decir, estamos preguntando por el valor de $t$ , si existe, que haga que $75 t = 14 - 65 t$ sea verdadera. Cuando despejamos $t$ en esta ecuación, obtenemos que $t = 0.1$ es una solución. También obtenemos que en ese momento, los dos automóviles están a 7.5 millas de distancia de la zona de descanso, pues $75 t = 75 \cdot 0.1 = 7.5$ . Este resultado coincide con la gráfica.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Lin y Diego van en sus bicicletas por el mismo camino en la misma dirección, pero comenzaron en distintos momentos. Diego va a una rapidez constante de 18 millas por hora, por lo tanto, si la distancia que ha recorrido (en millas) se representa por $d$ y el tiempo de recorrido (en horas) por $t$ , entonces $d = 18 t$ . Lin comenzó su viaje un cuarto de hora antes que Diego a una rapidez constante de 12 millas por hora, por lo tanto, si la distancia total que ha recorrido (en millas) se representa por $d$ , entonces $d = 12 (t + \frac{1}{4})$ . ¿Cuándo se encontrarán Lin y Diego?

Solución:

Para hallar cuándo se encuentran Lin y Diego, es decir, cuándo han recorrido la misma distancia total, podemos igualar las dos distancias (es decir, las dos expresiones para la distancia) y despejar $t$ : $18 t = 12 t + 3$ $6 t = 3$ $t = \frac{1}{2}$ Se encuentran luego de que Diego haya viajado durante media hora y Lin haya viajado durante tres cuartos de hora. La distancia que ambos recorrieron antes de encontrarse es 9 millas, pues $9 = 18 \cdot \frac{1}{2}$ . Otra forma de encontrar la solución sería graficar $d = 18 t$ y $d = 12 (t + \frac{1}{4})$ en el mismo plano de coordenadas, e interpretar el punto en el cual las dos rectas se intersecan.