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Lección 8Área de triángulos

Usemos lo que sabemos sobre paralelogramos para encontrar el área de triángulos.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo usar lo que sé sobre paralelogramos para razonar sobre el área de triángulos.

8.1 Compongamos paralelogramos

Este es el triángulo M.

A triangle labeled “M”. The left side is 4 units tall and the top side is 6 units wide.

Han hizo una copia del triángulo M y compuso tres paralelogramos diferentes usando el M original y la copia, como se muestra aquí.

Three images of triangle M. The first image has a copy composed along the angled side of the triangle to compose a rectangle, the second has a copy along the top side of the triangle to compose a parallelogram, and the third has a copy along the left side of the triangle to compose a parallelogram.

  1. Para cada paralelogramo que Han compuso, identifica una base y una altura correspondiente, y escribe las medidas en el dibujo.

  2. Encuentra el área de cada paralelogramo que Han compuso. Muestra tu razonamiento.

8.2 Más triángulos

Encuentra el área de al menos dos de los siguientes triángulos. Muestra tu razonamiento.

Four triangles on a grid labeled A--D.

8.3 Descompongamos un paralelogramo

  1. Tu profesor te dará dos copias de un paralelogramo. Pega con cinta o pegamento una copia de tu paralelogramo aquí y encuentra su área. Muestra tu razonamiento.
  2. Descompón la segunda copia de tu paralelogramo cortando a lo largo de las rectas punteadas. Toma solo el triángulo pequeño y el trapecio, y reorganiza estas dos piezas en un paralelogramo diferente. Pega con la cinta o el pegamento en tu papel el nuevo paralelogramo que acabas de componer.
  3. Encuentra el área del nuevo paralelogramo que compusiste. Muestra tu razonamiento.
  4. ¿Qué observas sobre la relación entre el área de este nuevo paralelogramo y el área del paralelogramo original?
  5. ¿Cómo se compara el área del triángulo grande con la del nuevo paralelogramo: es más grande, igual o más pequeña? ¿Por qué?
  6. Pega con cinta o pegamento el triángulo grande que está debajo. Usa cualquier parte del trabajo anterior como ayuda para encontrar su área. Muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

¿Puedes descomponer este triángulo y reorganizar sus partes para formar un rectángulo? Describe cómo se podría hacer.

“”

Resumen de la lección 8

Podemos razonar sobre el área de un triángulo usando lo que sabemos sobre paralelogramos. Estas son tres formas de hacerlo:

  • Hacer una copia del triángulo y unir el original y la copia a lo largo de un lado para crear un paralelogramo. Como los dos triángulos tienen la misma área, una copia del triángulo tiene la mitad del área de ese paralelogramo.

    Four figures labeled A, B, C, and D. Figure A is a triangle. Figure B is the same triangle as figure A with a copy along the edge of the original to create a rectangle. The right side of the rectangle is labeled 2 units, and the bottom is labeled 8 units. Figure C is another triangle, and figure D is the same triangle as figure C, with a copy along the edge of the original to create parallelogram. The left base of the parallelogram is labeled 4 units, and the height is labeled 6 units.

    El área del paralelogramo B es 16 unidades cuadradas porque la base es 8 unidades y la altura es 2 unidades. El área del triángulo A es la mitad de esto, es decir 8 unidades cuadradas. El área del paralelogramo D es 24 unidades cuadradas porque la base es 4 unidades y la altura es 6 unidades. El área del triángulo C es la mitad de esto, es decir, 12 unidades cuadradas.      

  • Descomponer el triángulo en pedazos más pequeños y recomponerlos en un paralelogramo.

    An image of a triangle with a dashed line cutting off the top portion, and a second image with an arrow indicating that the cut off portion has moved next to the bottom portion to create a parallelogram.

    En el nuevo paralelogramo, b = 6 , h = 2 y 6 \boldcdot 2 = 12 , luego su área es 12 unidades cuadradas. Dado que el triángulo original y el paralelogramo están compuestos por las mismas partes, el área del triángulo original también es 12 unidades cuadradas.      

  • Dibujar un rectángulo alrededor del triángulo. Algunas veces el triángulo tiene la mitad del área del rectángulo.

    “”

    El rectángulo grande se puede descomponer en rectángulos más pequeños. El de la izquierda tiene un área de 4 \boldcdot 3 , es decir 12 unidades cuadradas; el de la derecha tiene un área de 2 \boldcdot 3 , es decir 6 unidades cuadradas. El triángulo grande también se descompone en dos triángulos rectángulos. Cada uno de los triángulos rectángulos es la mitad de un rectángulo más pequeño, entonces sus áreas son 6 unidades cuadradas y 3 unidades cuadradas. El triángulo grande tiene un área de 9 unidades cuadradas.

    Algunas veces el triángulo es la mitad de lo que queda del rectángulo después de eliminar dos copias de los triángulos rectángulos más pequeños.

    Three images of the same triangle. The first image is the triangle alone. The second is the triangle surrounded by a rectangle. The third image is of the triangle now with a copy composed into a parallelogram within the rectangle, with arrows drawing the remaining parts of the rectangle into a smaller rectangle.

    Los triángulos rectángulos que se eliminan se pueden unir para componer un rectángulo pequeño con área  (2 \boldcdot 3) unidades cuadradas. Lo que queda es un paralelogramo con un área  5 \boldcdot 3 - 2 \boldcdot 3 , que equivale a 15-6 , es decir 9 unidades cuadradas ¡Observa que podemos componer el mismo paralelogramo con dos copias del triángulo original! El triángulo original es la mitad del paralelogramo, por lo que su área es \frac {1}{2} \boldcdot 9 , es decir 4.5 unidades cuadradas.

Problemas de práctica de la lección 8

  1. Para encontrar el área de este triángulo rectángulo, Diego y Jada usaron estrategias diferentes. Diego dibujó una recta a través de los puntos medios de los dos lados más largos, lo que descompone el triángulo en un trapecio y un triángulo más pequeño. Luego, reorganizó las dos figuras para formar un paralelogramo. 

    A triangle with one side labeled 3 feet and another side labeled 8 feet. A second image displays the same triangle with a dashed line bisecting the triangle so the side that was labeled 8 feet is now two pieces, each labeled 4 feet. An arrow indicates that the resulting smaller portion is rotated to create a parallelogram with a base of 3 feet and a height of 4 feet.

    Jada hizo una copia del triángulo, la rotó y la alineó con respecto a un lado del triángulo original de manera que los dos triángulos forman un paralelogramo.  

    A triangle with one side labeled 3 feet and another labeled 8 ft. To the left is the same triangle with a copy composed along the 8 feet side to create a parallelogram.
    1. Explica cómo Diego podría usar su paralelogramo para encontrar el área del triángulo.
    1. Explica cómo Jada podría usar su paralelogramo para encontrar el área del triángulo.
  2. Encuentra el área del triángulo. Explica o muestra tu razonamiento.
    a. 
    b. 
    ​

  3. ¿Cuál de los tres triángulos tiene el área mayor? Muestra tu razonamiento.

    Three triangles labeled A, B, and C. Triangle A is a right triangle with a base of 5 and a height of 4. Triangle B has a base of 4 and a height of 5. Triangle C has a base of 4 and a height of 5.

    Si tienes dificultades, usa lo que sabes sobre el área de paralelogramos para ayudarte.

  4. Dibuja una copia idéntica de cada triángulo de manera que las dos copias juntas formen un paralelogramo. Si tienes dificultades, considera usar papel de calcar.

    Three triangles labeled D, E, and F.

    1. Un paralelogramo tiene base de 3.5 unidades y altura correspondiente de 2 unidades. ¿Cuál es su área?

    2. Un paralelogramo tiene base de 3 unidades y su área es 1.8 unidades cuadradas. ¿Cuál es la altura correspondiente para esa base?

    3. Un paralelogramo tiene área de 20.4 unidades cuadradas. Si la altura que corresponde a una base es de 4 unidades, ¿cuál es la base?