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Lección 9Fórmula para el área de un triángulo

Escribamos y usemos una fórmula para hallar el área de un triángulo.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo escribir y explicar la fórmula del área de un triángulo.
  • Puedo usar la fórmula del área para encontrar el área de cualquier triángulo.
  • Sé lo que significan los términos "base" y "altura" en un triángulo.

9.1 Bases y alturas de un triángulo

Estudia los ejemplos y los no-ejemplos de bases y alturas en un triángulo. Responde a las preguntas que siguen.

  • Estos segmentos punteados representan las alturas del triángulo.
Three copies of a triangle. Each copy shows a different base and height pair.
  • Estos segmentos punteados no representan las alturas del triángulo.
Three copies of a triangle. Each copy has a different side labeled base and a line from the base that is not the height.

Escoge todas las afirmaciones verdaderas acerca de las bases y las alturas en un triángulo.

  1. Cualquier lado de un triángulo puede ser una base.
  2. Hay una sola altura posible.
  3. Una altura siempre es uno de los lados de un triángulo.
  4. Una altura que corresponde a una base tiene que dibujarse formando un ángulo agudo con la base.
  1. Una altura que corresponde a una base tiene que dibujarse formando un ángulo recto con la base.
  2. Una vez escogemos una base, existe solo un segmento que representa la altura correspondiente.
  3. Un segmento que represente una altura tiene que pasar por un vértice.

9.2 Encontremos la fórmula del área de un triángulo

  • En cada triángulo, etiqueta un lado que se pueda usar como la base y un segmento que muestre su altura correspondiente.
  • Escribe las medidas de la base y la altura en la tabla y halla el área del triángulo (la longitud de lado de cada cuadrado en la cuadrícula es 1 unidad).
  • En la última fila, escribe una expresión para el área de cualquier triángulo, usando b y h .
Four triangles labeled A--D on a grid.
triángulo base (unidades) altura (unidades) área (unidades cuadradas)
A
B
C
D
cualquier triángulo b h

9.3 Usemos la fórmula del área de triángulos

En cada triángulo, etiqueta la medida de una base que puedas usar para hallar el área del triángulo. Después, halla el área en tres de los triángulos que elijas. Muestra tu razonamiento.

Five triangles, all measurements in centimeters: Triangle A has one side length of 5 with a perpendicular length of 6 from that side to the opposite vertex. Triangle B has sides of length 4, 4, and unknown with a 90-degree angle between the two known sides. Triangle C has side lengths 7, 3.5, and unknown. The perpendicular length from the side of length 7 to the opposite vertex is 3. Triangle D has side lengths 8, 3.5, and 8.73. There is a 90-degree angle between the sides of length 8 and 3.5. Triangle E has sides 10, 6, and unknown. The perpendicular length from the side of length 6 to the opposite vertex is 5

Resumen de la lección 9

  • Podemos llamar base a cualquiera de los tres lados de un triángulo. El término "base" se refiere tanto al lado como a su longitud (la medida).     
  • La altura correspondiente es la longitud de un segmento perpendicular que va de la base hasta el vértice opuesto a ella. El vértice opuesto es el vértice que no es un punto extremo de la base.     

Estas son tres parejas de bases y alturas del mismo triángulo. Los segmentos punteados en los diagramas representan las alturas.

Three images of a triangle, each with a different side labeled “base” and an accompanying dashed line perpendicular to the base indicating the height.

Un segmento que representa una altura se puede dibujar formando un ángulo recto con la base, pero se puede dibujar en más de un lugar. No tiene que pasar por el vértice opuesto, siempre y cuando una la base y una recta paralela a la base que atraviese el vértice opuesto, como se muestra aquí.   

“”

Las parejas de base y altura en un triángulo están relacionadas estrechamente con las de un paralelogramo. Recuerda que dos copias de un triángulo pueden componerse para formar uno o más paralelogramos. Cada paralelogramo comparte por lo menos una base con el triángulo.    

Two identical triangles each, with a copy composing the triangle into two different parallelograms. In each parallelogram has the bottom side labeled “base” and dashed lines at right angles to the base indicating the height of the parallelogram.

Para cualquier base que ellos compartan, también comparten la altura correspondiente, como se muestra con los segmentos punteados.     

Podemos usar la medidas de base y altura y nuestro conocimiento sobre paralelogramos para hallar el área de cualquier triángulo.    

  • La fórmula del área de un paralelogramo con base b y altura h es b\boldcdot h .     
  • Un triángulo ocupa la mitad del área de un paralelogramo que tiene la misma base y altura, entonces podemos expresar el área A de un triángulo así:
    A=\frac{1}{2}\boldcdot b \boldcdot h       
Three figures: triangle A with base 5 and height 6; triangle B with base 3 and height 3; triangle C with base 12 and height 4.

  • El área del triángulo A es 15 unidades cuadradas, porque \frac12 \boldcdot 5 \boldcdot 6=15 .    

  • El área del triángulo B es 4.5 unidades cuadradas, porque \frac12 \boldcdot 3 \boldcdot 3 = 4.5 .    

  • El área del triángulo C es 24 unidades cuadradas, porque \frac12 \boldcdot 12 \boldcdot 4 = 24 .   

En cada caso, un lado del triángulo es la base pero ninguno de los otros lados es la altura. Esto ocurre porque el ángulo entre ellos no es un ángulo recto.    

Sin embargo, en los triángulos rectángulos, los dos lados que son perpendiculares pueden ser una base y una altura.    

El área de este triángulo es 18 unidades cuadradas, sin importar si usamos 4 unidades o 9 unidades para la base.   

A right triangle with legs of length 4 and 9.
​

Términos del glosario

vértice opuesto

Para cada lado de un triángulo hay un vértice que no está sobre ese lado. A este lo llamamos el vértice opuesto (opuesto a ese lado).

Por ejemplo, el punto A es el vértice opuesto al lado BC .

Problemas de práctica de la lección 9

  1. Selecciona todos los dibujos en los que se identifica correctamente una altura correspondiente  h para una base b dada.

    Six images of the same triangle, labeled A, B, C, D, E, and F. On triangle A, the top side is labeled “b” and a dashed line extending straight down from the right vertex is labeled “h”. On triangle B the top side is labeled “b” and a dashed line extends from the center of the top side to the opposite vertex labeled “h”. On triangle C, the right side is labeled “b” and a dashed line extends from the right top vertex straight down to the level of the bottom vertex. On triangle D the left side is labeled “b” and a perpendicular line labeled “h” extends to the opposite vertex. On triangle E, the right side is labeled “b” and a dashed line labeled “h” extends out from the bottom vertex at a right angle to the left side. On triangle F, the right side is labeled “b” and a perpendicular dashed line labeled “h” extends from the side labeled “b” and extends to the opposite vertex.

  2. En cada triángulo se etiqueta una base y su altura correspondiente.

    a. Encuentra el área de cada triángulo.

    b. ¿Cómo se relaciona el área con la base y su altura correspondiente?

  3. Este es un triángulo rectángulo. Nombra una altura correspondiente para cada base.

    A triangle with sides labeled d, e, and f. The angle opposite side D is a right angle. A segment labeled g is perpendicular to side d and extends to the opposite vertex.
    1. Lado  d
    2. Lado  e
    3. Lado  f

  4. Encuentra el área del triángulo sombreado. Muestra tu razonamiento.

    A square with a shaded triangle contained inside it. The left and bottom sides of the square are labeled six, and the right side is labeled 2 above the point where vertex of the shaded triangle meets the side, and 4 below the point where the vertex meets the side.

  5. Andre dibujó una recta que une dos esquinas opuestas de un paralelogramo. Selecciona todas las afirmaciones verdaderas acerca de los triángulos creados por la recta que Andre dibujó.

    A parallelogram with a line connecting two opposite corners. The parallelogram has a base of 3 units and a height of 9 units.
    1. Cada triángulo tiene dos lados que tienen 3 unidades de largo.
    2. Cada triángulo tiene un lado que tiene la misma longitud que la recta diagonal.
    3. Cada triángulo tiene un lado que tiene 3 unidades de largo.
    4. Cuando un triángulo se ubica encima del otro y sus lados están alineados, vemos que un triángulo es más largo que el otro.
    5. Los dos triángulos tienen la misma área.

  6. Este es un octágono.

    An octagon with straight sides that are 4 inches long, and angled sides that are both 3 inches high and 3 inches wide.
    1. Mientras Lin estimaba el área del octágono, ella pensó que debe ser menor que 100 pulgadas cuadradas. ¿Estás de acuerdo? Explica tu razonamiento.
    2. Halla el área exacta del octágono. Muestra tu razonamiento.