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Lección 16Resolver más problemas de razones

Comparemos todas nuestras estrategias para resolver problemas de razones.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo escoger y crear diagramas que me ayuden a razonar durante mi solución.
  • Puedo resolver todo tipo de problemas acerca de razones equivalentes.
  • Puedo usar diagramas para ayudarle a alguien a comprender por qué mi solución tiene sentido.

16.1 Cuenta tú la historia

Describe una situación con dos cantidades que este diagrama de cinta pueda representar.

A tape diagram showing 7 parts and 3 parts.

16.2 Un viaje al acuario

Considera este problema: un profesor está planeando una salida pedagógica al acuario. El acuario requiere 2 acompañantes por cada 15 estudiantes. El profesor, de acuerdo con esta condición, compra un total de 85 boletos. ¿Cuántos boletos son para acompañantes y cuántos para estudiantes?

  1. Resuelve este problema en una de estas tres maneras:

    1. Usa una recta numérica triple.
    A triple number line with 8 evenly spaced tick marks. For "kids" the numbers 0 and 15 are indicated on the first 2 tick marks. For "chaperones" the numbers 0 and 2 are indicated on the first 2 tick marks. For "total" the numbers 0 and 17 are indicated on the first 2 tick marks.
    1. Usa una tabla.
      (Llena las filas y columnas según sea necesario.)
    niños acompañantes total
    15 2 17

    1. Usa un diagrama de cinta.

      A tape diagram. For "kids" 15 equal parts and for "chaperones" 2 equal parts. A brace from "kids" to "chaperones" is labeled 85.
  2. Después de que la clase discuta las tres estrategias, ¿cuál prefieres para resolver el problema? ¿Por qué?

¿Estás listo para más?

Usa los dígitos del 1 al 9 para crear tres razones equivalentes. Usa cada dígito solamente una vez. 

\boxed{\phantom{3}}:\boxed{\phantom{3}} es equivalente a  \boxed{\phantom{3}}\,\boxed{\phantom{3}}:\boxed{\phantom{3}} y  \boxed{\phantom{3}}\,\boxed{\phantom{3}}:\boxed{\phantom{3}}\,\boxed{\phantom{3}}

16.3 Aderezo para ensaladas y movimiento de cajas

Resuelve cada problema y muestra tu razonamiento. Organízalo de manera que pueda ser seguido por otros. Si tienes dificultades, considera dibujar una recta numérica doble, una tabla o un diagrama de cinta.

  1. Una receta para un aderezo de ensalada requiere 4 partes de aceite por cada 3 partes de vinagre. ¿Cuánto aceite se debe usar para hacer un total de 28 cucharaditas de aderezo?
  2. Andre y Han están moviendo cajas. Andre puede mover 4 cajas cada media hora. Han puede mover 5 cajas cada media hora. ¿Cuánto tiempo les tomaría a Andre y Han mover las 72 cajas juntos?

Resumen de la lección 16

Cuando resolvemos un problema relacionado con razones equivalentes, a menudo es útil usar un diagrama. Cualquier diagrama sirve siempre y cuando muestre de manera correcta las matemáticas y tú lo puedas explicar.

Comparemos tres maneras diferentes de resolver el mismo problema: la razón de adultos a niños en una escuela es 2:7 . Si en total hay 180 personas , ¿cuántas de ellas son adultos?

  • Los diagramas de cinta son especialmente útiles para este tipo de problema porque las dos partes de la razón tienen las mismas unidades ("número de personas") y podemos ver el número total de partes.

    A tape diagram. For "number of adults" 2 equal parts and for "number of kids" 7 equal parts.

    Este diagrama de cinta tiene 9 partes iguales, y estas deben representar 180 personas en total. Eso significa que cada parte representa 180 \div 9 o 20 personas.

    A tape diagram. For "number of adults" 2 equal parts and the number 20 is labeled in each part. For " number of kids" 7 equal parts and the number 20 is labeled in each equal part. A brace from "number of adults" to "number of kids" is labeled 180.

    Dos partes del diagrama de cinta representan a los adultos. Hay 40 adultos en la escuela porque 2 \boldcdot 20 = 40 .

  • Las rectas numéricas dobles o triples son útiles cuando queremos ver qué tan lejos están los números entre sí. Es más difícil usarlas con números muy grandes o muy pequeños, pero pueden ayudarnos con nuestro razonamiento.

    A triple number line with 4 evenly spaced tick marks. For "adults" the numbers 0, 2, 4, are indicated and the last tick mark is blank. For "kids" the numbers 0, 7, 14 are indicated and the last tick mark is blank. For "total" the numbers 0, 9, 18 are indicated and the last tick mark is blank. An arrow pointing from the 2nd tick mark of "adults" to a blank tick mark beyond the number line is labeled "times 20." A second arrow pointing from the 2nd tick mark of "total" to a tick mark beyond the number line marked 180 is labeled "times 20."

  • Las tablas son particularmente útiles cuando el problema tiene números muy grandes o muy pequeños.

    A 3-column table with 2 rows of data. Column 1 is labeled "adultos," column 2 is labeled "niños," and column 3 is labeled "total." Row 1: 2, 7, 9; Row 2: blank, blank, 180. An arrow from row 1 to row 2 is labeled "times 20."

    Nos preguntamos a nosotros mismos: "¿9 veces qué número es 180?". La respuesta es 20. Luego, multiplicamos 2 por 20 para obtener el número total de adultos en la escuela.

Otra razón para hacer diagramas es comunicar nuestras ideas a otros. Estos son algunos buenos hábitos para hacer diagramas:

  • Marca cada parte del diagrama con lo que representa.
  • Marca las cantidades importantes.
  • Asegúrate de leer lo que se pregunta y contestar eso.
  • Asegúrate de hacer que la respuesta sea fácil de encontrar.
  • Incluye las unidades de la respuesta. Por ejemplo, escribe "4 tazas" en vez de solamente "4."
  • Revisa más de una vez que tu lenguaje de razón sea correcto y coincida con tu diagrama.

Problemas de práctica de la lección 16

  1. Describe una situación que se pueda representar con este diagrama de cinta.

  2. En una alcancía grande hay algunas monedas de cinco centavos, monedas de diez centavos y monedas de veinticinco centavos. Por cada 2 monedas de cinco centavos hay 3 monedas de diez centavos. Por cada 2 monedas de diez centavos hay 5 monedas de veinticinco centavos. En total hay 500 monedas.

    1. ¿Cuántas monedas de cinco centavos, monedas de diez centavos y monedas de veinticinco centavos hay en la alcancía? Explica tu razonamiento.
    2. ¿Cuánto valen todas las monedas de la alcancía?

  3. Dos caballos comienzan una carrera al mismo tiempo. El Caballo A galopa a una tasa constante de 32 pies por segundo y el Caballo B galopa a una tasa constante de 28 pies por segundo. Después de 5 segundos, ¿cuánto más habrá recorrido el Caballo A? Explica o muestra tu razonamiento.

  4. Andre pagó $13 por 3 libros. Diego compró 12 libros con precios a la misma tasa. ¿Cuánto pagó Diego por los 12 libros? Explica tu razonamiento.

  5. ¿Qué poliedro se puede armar con este desarrollo plano?

    1. Una pirámide triangular
    2. Un prisma trapezoidal
    3. Una pirámide rectangular
    4. Un prisma triangular

  6. Encuentra el área del triángulo. Muestra tu razonamiento. Si tienes dificultades, considera dibujar un rectángulo alrededor del triángulo.