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Lección 10Dividamos entre fracciones unitarias y no unitarias

Busquemos patrones al dividir entre una fracción.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo dividir un número entre una fracción no unitaria \frac ab , al razonar con el numerador y el denominador, los cuales son números enteros.
  • Puedo dividir un número entre una fracción unitaria \frac 1b al razonar con el denominador, que es un número entero.

10.1 Dividamos entre un número entero

Trabaja con un compañero. Una persona debe resolver los problemas etiquetados "Compañero A" y la otra aquellos etiquetados "Compañero B". Escribe una ecuación para cada pregunta. Si tienes dificultades, dibuja un diagrama.

  1. Compañero A

    1. ¿Cuántos 3 hay en 12?

      Ecuación de división:

    A blank grid with height 5 units and length 16 units.

    1. ¿Cuántos 4 hay en 12?

      Ecuación de división:

    A blank grid with height 5 units and length 16 units.

    1. ¿Cuántos 6 hay en 12?

      Ecuación de división:

    A blank grid with height 5 units and length 16 units.

  2. Compañero B

    1. ¿Cuánto es 12 grupos de  \frac 13 ?

      Ecuación de multiplicación:

    A blank grid with height 5 units and length 16 units.

    1. ¿Cuánto es 12 grupos de \frac 14 ?

      Ecuación de multiplicación:

    A blank grid with height 5 units and length 16 units.

    1. ¿Cuánto es 12 grupos de \frac 16 ?

      Ecuación de multiplicación:

    A blank grid with height 5 units and length 16 units.

  3. Al comparar tus respuestas y las de tu compañero, ¿qué observas en los diagramas y las ecuaciones? Discútelo con tu compañero.

  4. Basado en tus observaciones completa esta frase: dividir entre un número entero  a produce el mismo resultado que multiplicar por _____________ .

10.2 Dividamos entre fracciones unitarias

  1. Para encontrar el valor de  6 \div \frac 12 , Elena pensó: "¿Cuántos \frac 12 hay en 6?" y dibujó un diagrama de cinta. Este muestra 6 unidades, donde cada una está dividida en 2 pedazos iguales.

    6 \div \frac 12

    Para cada expresión de división, completa el diagrama usando la misma interpretación de división que usó Elena. Después, escribe el valor de cada expresión. Piensa en cómo encontrar el valor sin contar los pedazos en el diagrama.

    a. 6 \div \frac 13

    A tape diagram of 6 equal parts. From the beginning of the diagram to the end of the diagram a brace is drawn and is labeled 6.

    Valor de la expresión: ____________

    b. 6 \div \frac 14

    A tape diagram of 6 equal parts. From the beginning of the diagram to the end of the diagram a brace is drawn and is labeled 6.

    Valor de la expresión: ____________

    c. 6 \div \frac 16

    A tape diagram of 6 equal parts. From the beginning of the diagram to the end of the diagram a brace is drawn and is labeled 6.

    Valor de la expresión: ____________

  2. Analiza las expresiones y tus respuestas. Busca un patrón. ¿Cómo encontraste cuántos  \frac 12 , \frac 13 , \frac 14  o  \frac 16 hay en 6 sin contar? Explica tu razonamiento.

  3. Usa tus observaciones de las preguntas anteriores para encontrar los valores de las siguientes expresiones. Si tienes dificultades, puedes usar diagramas.

    1. 6 \div \frac 18
    2. 6 \div \frac {1}{10}
    1. 6 \div \frac {1}{25}
    2. 6 \div \frac {1}{b}

  4. Encuentra el valor de cada expresión.

    1. 8 \div \frac 14
    2. 12 \div \frac 15
    1. a \div \frac 12
    2. a \div \frac {1}{b}

10.3 Dividamos entre fracciones no unitarias

  1. Para encontrar el valor de 6 \div \frac 23 , Elena primero dibujó su diagrama de la misma manera en que dibujó el que usó para 6 \div \frac 13 .

    1. Usa el diagrama de Elena para encontrar cuántos  \frac 23 hay en 6. Ajusta y etiqueta el diagrama, según sea necesario.
    2. Ella dice: "Para encontrar 6 \div \frac23 , yo puedo simplemente tomar el valor de  6 \div \frac13 y después o multiplicarlo por \frac 12 o dividirlo entre 2". ¿Estás de acuerdo con ella? Explica por qué sí o por qué no.

  2. Para cada expresión de división, completa el diagrama usando la misma interpretación de división que usó Elena. Después, escribe el valor de la expresión. Piensa en cómo podrías encontrar el valor de cada expresión sin contar los pedazos iguales en tu diagrama.

    6 \div \frac 34

    Valor de la expresión:___________

    6 \div \frac 43

    Valor de la expresión:___________

    6 \div \frac 46

    Valor de la expresión:___________

  3. Elena estudió sus diagramas y observó que siempre hacía los mismos dos pasos para representar la división por una fracción en un diagrama de cinta. Ella dijo:

    "Mi primer paso fue dividir cada unidad del diagrama en tantas partes como las que representa el número en el denominador. Es decir, si la expresión es  6 \div \frac 34 , divido cada unidad del diagrama en 4 pedazos. Ahora el número de pedazos que tengo es 4 veces el número de unidades.

    Mi segundo paso fue poner cierto número de esos pedazos en un grupo, y ese número es el numerador del divisor. Es decir, si la fracción es  \frac34 , pongo cada 3 de los \frac 14 en un grupo. En ese momento puedo decir cuántos  \frac 34 hay en 6".

    ¿Qué expresión representa cuántos  \frac 34 tendría Elena después de estos dos pasos? Prepárate para explicar tu razonamiento.

    1. 6 \div 4 \boldcdot 3
    2. 6 \div 4 \div 3
    1. 6 \boldcdot 4 \div 3
    2. 6 \boldcdot 4 \boldcdot 3

  4. Usa tu trabajo de las preguntas anteriores para encontrar los valores de las siguientes expresiones. Si tienes dificultades dibuja diagramas.

    a. 6 \div \frac27

    b. 6\div\frac{3}{10}

    c.  6 \div \frac {6}{25}

¿Estás listo para más?

Encuentra el valor que falta.

Resumen de la lección 10

Para contestar a la pregunta "¿Cuántos \frac 13  hay en 4?" o "¿Cuánto es 4 \div \frac 13 ?", podemos pensar que hay 3 tercios en 1, así que hay  (4\boldcdot 3) tercios en 4.

En otras palabras, dividir 4 entre \frac13 da el mismo resultado que multiplicar 4 por 3.

4\div \frac13 = 4 \boldcdot 3

En general, dividir un número entre una fracción unitaria  \frac{1}{b} es lo mismo que multiplicar el número por  b , que es el recíproco de  \frac{1}{b} .

¿Cómo podemos razonar sobre 4 \div \frac23 ?

Ya sabemos que hay  (4\boldcdot 3) o 12 grupos de  \frac 13 en 4. Para encontrar cuántos \frac23 hay en 4, necesitamos unir cada 2 de la fracción \frac13 en un grupo. Hacer esto da como resultado la mitad de los grupos, que es 6 grupos. En otras palabras:

4 \div \frac23 = (4 \boldcdot 3) \div 2

o

4 \div \frac23 = (4 \boldcdot 3) \boldcdot \frac 12

En general, dividir un número entre  \frac{a}{b} es lo mismo que multiplicar el número por b y después dividir entre  a ; o multiplicar el número por  b y después por \frac{1}{a} .

Problemas de práctica de la lección 10

  1. Priya comparte 24 manzanas equitativamente con algunos amigos. Ella utiliza división para encontrar cuántas personas pueden tener una parte si cada una obtiene un número específico de manzanas. Por ejemplo, 24 \div 4 = 6 significa que si cada persona recibe 4 manzanas, 6 personas podrán recibir manzanas. Estos son unos cuantos cálculos más:

    24 \div 4 = 6

    24 \div 2 = 12

    24 \div 1 = 24

    24 \div \frac12 = {?}

    1. Priya piensa que el "?" representa un número menor que 24. ¿Estás de acuerdo? Explica o muestra tu razonamiento.

    2. En el caso de 24 \div \frac12 = {?} , ¿cuántas personas pueden recibir manzanas?

  2. Esta es una regla de centímetros.

    portion of a ruler with the top labeled inches and the bottom of the ruler labeled centimeters. The top of the ruler has the numbers 1 and 2 indicated. There are 15 evenly spaced tick marks between the beginning of the ruler and 1 and between 1 and 2. The bottom of the ruler has the numbers 1 through 5 indicated. There are 10 evenly spaced tick marks between the beginning of the ruler and 1, 1 and 2, 2 and 3, 3 and 4, and 4 and 5.
    1. Utiliza la regla para encontrar 1 \div \frac{1}{10}  y  4 \div \frac{1}{10} .  
    2. ¿Qué cálculo hiciste cada vez?  

    1. Utiliza tu trabajo de la primera parte para encontrar cada cociente.

      1. 18 \div \frac{1}{10}
      1. 4\div \frac{2}{10}
      1. 4\div \frac{8}{10}

  3. Determina cada cociente.

    a. 5 \div \frac{1}{10}

    b. 5 \div \frac{3}{10}

    c. 5\div \frac{9}{10}

  4. Utiliza el hecho de que 2\frac12 \div \frac18=20 para encontrar  2\frac12 \div \frac58 . Explica o muestra tu razonamiento.

  5. Un grupo de trabajadores necesita una semana para pavimentar  \frac35 de kilómetro de un camino. A esta tasa, ¿cuánto tardará pavimentar 1 kilómetro?

    Escribe una ecuación de multiplicación y una ecuación de división que representen la pregunta y luego responde la pregunta. Muestra tu razonamiento.

  6. Una caja contiene 1\frac 34 libras de mezcla para pancakes. Jada utilizó  \frac 78 libras para una receta. ¿Qué fracción de la mezcla para pancakes de la caja usó? Explica o muestra tu razonamiento. Dibuja un diagrama, si es necesario.

  7. Calcula mentalmente cada porcentaje.

    1. 25% de 400
    2. 50% de 90
    1. 75% de 200
    2. 10% de 8,000
    1. 5% de 20