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Lección 15Expresiones exponenciales equivalentes

Investiguemos expresiones que tienen variables y exponentes.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo hallar, en una lista de números, soluciones a ecuaciones que tienen exponentes.
  • Puedo reemplazar una variable por un número en una expresión que tiene exponentes y operaciones, y utilizar el orden correcto para evaluar la expresión.

15.1 ¿Arriba o abajo?

  1. Halla los valores de 3^x y \left(\frac13\right)^x para diferentes valores de x .
    x   3^x \left(\frac13\right)^x
    1
    2
    3
    4
  1. ¿Qué patrones observas?

15.2 ¿Cuál es el valor?

Evalúa cada expresión para el valor dado de x .

  1. 3x^2 cuando x es 10

  2. 3x^2 cuando x es \frac19

  3. \frac{x^3}{4} cuando x es 4

  4. \frac{x^3}{4} cuando x es \frac12

  5. 9+x^7 cuando x es 1

  6. 9+x^7 cuando  x es \frac12

15.3 Experimentación con exponentes

Encuentra una solución para cada ecuación, en la lista a continuación. (Es posible que los números de la lista sean la solución de más de una ecuación, no se van a utilizar todos los números).

  1. 64=x^2
  2. 64=x^3
  3. 2^x=32
  4. x=\left( \frac25 \right)^3
  1. \frac{16}{9}=x^2
  2. 2\boldcdot 2^5=2^x
  3. 2x=2^4
  4. 4^3=8^x

Lista:

\frac{8}{125}

\frac{6}{15}

\frac{5}{8}

\frac89

1

\frac43

2

3

4

5

6

8

¿Estás listo para más?

Este fractal se llama un tetraedro de Sierpinski. Un tetraedro es un poliedro que tiene cuatro caras.

Los tetraedros pequeños forman cuatro tetraedros medianos: azul, rojo, amarillo y verde. Los tetraedros medianos forman un tetraedro grande.

  1. ¿Cuántas caras pequeñas tiene este fractal? Asegúrate de incluir todas las caras: las que no puedes ver, así como las que sí. Trata de encontrar una manera de descifrar esto de tal forma que no tengas que contar todas las caras.
  2. ¿Cuántos tetraedros pequeños hay en la capa inferior, tocando la mesa?
  3. Para formar una versión aún más grande de este fractal, podrías tomar cuatro fractales como el de la foto y juntarlos. Explica dónde unirías los fractales para formar un tetraedro más grande.
  4. ¿Cuántas caras pequeñas tendría este fractal más grande? ¿Cuántos tetraedros pequeños habría en la capa inferior?
  5. ¿Qué otros patrones puedes encontrar?

Resumen de la lección 15

En esta lección vimos expresiones que utilizaban la letra x como una variable. Evaluamos estas expresiones para distintos valores de x .

  • Para evaluar la expresión 2x^3 cuando x es 5, reemplazamos la letra  x por 5 para obtener 2 \boldcdot 5^3 . Esto es igual a 2 \boldcdot 125 o simplemente 250. Así que el valor de 2x^3 es 250 cuando x es 5.
  • Para evaluar \frac{x^2}{8} cuando x es 4, reemplazamos la letra  x por 4 para obtener \frac{4^2}{8} = \frac{16}{8} , que es igual a 2. Entonces \frac{x^2}{8} tiene un valor de 2 cuando x es 4.

También vimos ecuaciones con la variable x y tuvimos que decidir qué valor de x haría verdadera a la ecuación.

  • Supongamos que tenemos una ecuación  10 \boldcdot 3^x = 90 y una lista de posibles soluciones: {1, 2, 3, 9, 11} . El único valor de x que hace verdadera a la ecuación es 2, porque 10 \boldcdot 3^2 = 10 \boldcdot 3 \boldcdot 3 , que es igual a 90. Así que 2 es la solución de la ecuación.

Problemas de práctica de la lección 15

  1. Evalúa las siguientes expresiones para x=3 .

    1. 2^x
    2. x^2
    1. 1^x
    2. x^1
    1. \left(\frac12\right)^x

  2. Valora cada expresión para el valor dado de x .

    1. 2 + x^3 , x es igual a 3 
    2. x^2 , x es igual a \frac{1}{2}  
    1. 3x^2 , x es igual a 5 
    2. 100 - x^2 , x es igual a 6

  3. Decide si las expresiones de cada pareja tienen el mismo valor. Si no, determina qué expresión tiene el valor mayor.

    1. 2^3 y  3^2
    2. 1^{31} y  31^1
    1. 4^2 y  2^4
    2. \left(\frac12\right)^3 y  \left(\frac13\right)^2

  4. Empareja cada ecuación con su solución.

    1. 7 + x^2 = 16
    2. 5 - x^2 = 1
    3. 2 \boldcdot 2^3 = 2^x
    4. \frac{3^4}{3^x}=27
    1. x=4
    2. x=1
    3. x=2
    4. x=3

  5. Un boleto para adultos en el parque de diversiones cuesta 1.6 veces lo que cuesta un boleto para niños.

    1. Determina cuántos dólares cuesta un boleto para adultos, si un boleto para niños cuesta:

      $5

      $10

      $ w

    2. Un boleto para niños cuesta $15. ¿Cuántos dólares cuesta un boleto para adultos?

  6. Jada lee 5 páginas cada 20 minutos. A esta tasa, ¿cuántas páginas puede leer en 1 hora?

    1. Usa una recta numérica doble para encontrar la respuesta.
    1. Usa una tabla para encontrar la respuesta.
    páginas leídas tiempo en minutos
    5 20
    1. Explica qué estrategia crees que es más útil para encontrar la respuesta.