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Lección 16Dos cantidades relacionadas (Parte 1)

Usemos ecuaciones y gráficas para describir relaciones dadas por razones.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo elaborar tablas y gráficas que muestran la relación que hay entre dos cantidades de una razón dada.
  • Puedo escribir una ecuación con variables que muestra la relación que hay entre dos cantidades de una razón dada.

16.1 ¿Cuál escogerías?

¿Cuál escogerías? Prepárate para explicar tu razonamiento.

  • Una jarra de 5 libras de miel por $15.35
  • Tres jarras de 1.5 libras de miel por $13.05

16.2 Pintar el set

Lin necesita mezclar un color específico de pintura para el set de la obra de teatro escolar. El color es un tono de naranja que utiliza 3 partes de amarillo por cada 2 partes de rojo.

  1. Completa la tabla para mostrar diferentes combinaciones de pintura roja y amarilla que producirán el tono de naranja que Lin necesita.

    tazas de pintura roja (r) tazas de pintura amarilla (y) total de tazas de pintura (t)
    2 3
    6
    20
    18
    14
    16
    50
    42

  2. Lin observa que el número de tazas de pintura roja siempre es  \frac25 del total de tazas de pintura. Ella escribe la ecuación  r=\frac25 t para describir la relación. ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la variable dependiente? Explica cómo lo sabes.

  3. Escribe una ecuación que describa la relación entre r y  y en la que y sea la variable independiente.

  4. Escribe una ecuación que describa la relación entre  y y r en la que r sea la variable independiente.

  5. Utiliza los puntos de la tabla para crear dos gráficas que muestren la relación entre  r y  y . Empareja cada relación con una de las ecuaciones que escribiste.

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¿Estás listo para más?

En un puesto de frutas venden manzanas, duraznos y tomates. Hoy vendieron 4 manzanas por cada 5 duraznos. Vendieron 2 duraznos por cada 3 tomates. En total vendieron 132 frutas. ¿Cuántas unidades vendieron de cada fruta? 

Resumen de la lección 16

Las ecuaciones son muy útiles para describir conjuntos de razones equivalentes. Este es un ejemplo de eso:

Una receta de una tarta requiere 3 manzanas verdes por cada 5 manzanas rojas. Podemos crear una tabla para mostrar algunas razones equivalentes.

manzanas verdes (g) manzanas rojas (r)
3 5
6 10
9 15
12 20

Podemos ver de la tabla que  r siempre es \frac53 tan grande como g y que g siempre es \frac35 tan grande como  r . Podemos escribir ecuaciones para describir la relación entre g y r .

  • Cuando conocemos el número de manzanas verdes y queremos hallar el número de manzanas rojas, podemos escribir: r=\frac53g En esta ecuación, si  g cambia, r es afectada por el cambio, así que nos referimos a  g como la variable independiente y a r como la variable dependiente.

    Podemos utilizar esta ecuación con cualquier valor de  g para hallar r . Si se utilizan 270 manzanas verdes, entonces se utilizan  \frac53 \boldcdot (270) o 450 manzanas rojas.

  • Cuando conocemos el número de manzanas rojas y queremos hallar el número de manzanas verdes, podemos escribir: g=\frac35r En esta ecuación, si  r cambia, g es afectada por el cambio, así que nos referimos a r como la variable independiente y a  g como la variable dependiente.

    Podemos utilizar esta ecuación con cualquier valor de r para hallar g . Si se utilizan 275 manzanas rojas, entonces se utilizan  \frac35 \boldcdot (275) o 165 manzanas verdes.

También podemos graficar las dos ecuaciones que escribimos para obtener una representación visual de la relación entre las dos cantidades.

Two graphs that represent a ratio of two quantities. The graph on the left has a horizontal axis labeled number of green apples and the numbers 1 through 15 are indicated, The vertical axis is labeled number of red apples and the numbers 1 through 20 are indicated. The following four points are indicated on the graph: 3 comma 5, 6 comma 10, 9 comma 15, and 12 comma 20. The graph on the right has a horizontal axis labeled number of red apples and the numbers 1 through 15 are indicated. The vertical axis is labeled number of green apples and the numbers 1 through 20 are indicated. The following three points are indicated on the graph: 5 comma 3, 10 comma 6, and 15 comma 9.

Términos del glosario

variable dependiente

La variable dependiente es el resultado de un cálculo.

Por ejemplo, un barco viaja a una rapidez constante de 25 millas por hora. La ecuación  d=25t describe la relación entre la distancia recorrida por el bote y el tiempo transcurrido. La variable dependiente es la distancia recorrida porque  d es el resultado de multiplicar 25 por t .

variable independiente

La variable independiente se usa para calcular el valor de otra variable.

Por ejemplo, un barco viaja a una rapidez constante de 25 millas por hora. La ecuación  d=25t describe la relación entre la distancia recorrida por el bote y el tiempo transcurrido. La variable independiente es el tiempo transcurrido porque  t es multiplicado por 25 para obtener d .

Problemas de práctica de la lección 16

  1. Esta es una gráfica que muestra algunos valores del número de tazas de azúcar, s , que se necesitan para hacer x tandas de brownies.

    Eight points plotted on the coordinate plane with the origin labeled “O”. The x axis is labeled “batches of brownies” and the numbers 0 through 8 are indicated. The s axis is labeled “cups of sugar” and the numbers 0 through 6 are indicated. There are horizontal gridlines halfway between each integer. The data are as follows: 1 comma one half. 2 comma 1. 3 comma one and one half. 4 comma 2. 5 comma 2 and one half. 6 comma 3. 7 comma 3 and one half. 8 comma 4.
    1. Completa la tabla para que la pareja de números en cada columna represente las coordenadas de un punto en la gráfica.
      x 1 2 3 4 5 6 7
      s
    1. ¿Qué significa el punto (8,4) en términos de la cantidad de azúcar y el número de tandas de brownies?
    1. Escribe una ecuación que muestre la cantidad de azúcar en términos del número de tandas.

  2. Cada porción de cierto pasabocas de frutas contiene 90 calorías.

    1. Han quiere saber cuántas calorías obtiene al consumir pasabocas de frutas. Escribe una ecuación que muestra el número de calorías, c , en términos del número de porciones, n .
    2. Tyler necesita algunas calorías adicionales cada día durante su temporada deportiva. Él quiere saber cuántas porciones puede consumir cada día si todas las calorías adicionales provienen del pasabocas de fruta. Escribe una ecuación que muestre el número de porciones, n , en términos del número de calorías, c .

  3. Kiran está comprando libros durante una oferta de venta con el 20% de descuento.

    1. ¿Qué porcentaje del precio original de un libro paga Kiran durante la oferta?
    1. Completa la tabla para mostrar cuánto paga Kiran por los libros durante la oferta.
    2. Escribe una ecuación que relacione el precio de venta, s , con el precio original, p .
    3. En papel cuadriculado, crea una gráfica que muestre la relación entre el precio en oferta y el precio original, marcando los puntos de la tabla.
    precio original en dólares (p) precio en oferta en dólares (s)
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10