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Lección 8Igual y equivalente

Usemos diagramas para averiguar cuáles expresiones son equivalentes y cuáles son simplemente iguales algunas veces.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo explicar lo que significa que dos expresiones son equivalentes.
  • Puedo usar lo que sé acerca de operaciones para decidir si dos expresiones son equivalentes.
  • Puedo usar un diagrama de cinta para averiguar cuándo dos expresiones son iguales.

8.1 Conversación algebraica: resolvamos ecuaciones viendo la estructura

Encuentra mentalmente una solución para cada ecuación.

  • 3 + x = 8
  • 10 = 12 - x
  • x^2 = 49
  • \frac13 x = 6

8.2 Usemos diagramas para mostrar que las expresiones son equivalentes

Este es un diagrama de x+2 y 3x cuando x es 4. Observa que los dos diagramas están alineados por sus lados izquierdos.

En cada uno de tus dibujos a continuación, alinea los diagramas hacia un lado.

  1. Dibuja un diagrama de x+2  y, aparte, un diagrama de 3x , cuando x es 3.

    A blank grid with a height of 5 units and a length of 24 units.

  2. Dibuja un diagrama de  x+2  y, aparte, un diagrama de 3x , cuando x es 2.

    A blank grid with a height of 5 units and a length of 24 units.

  3. Dibuja un diagrama de  x+2  y, aparte, un diagrama de 3x , cuando x es 1.

    A blank grid with a height of 5 units and a length of 24 units.

  4. Dibuja un diagrama de  x+2  y, aparte, un diagrama de 3x , cuando x es 0.

    A blank grid with a height of 5 units and a length of 24 units.
  5. ¿Cuándo son iguales x+2 y 3x ? ¿Cuándo no son iguales? Usa tus diagramas para explicar.
  6. Dibuja un diagrama de  x+3  y, aparte, un diagrama de 3+x .
  7. ¿Cuándo son iguales x+3 y 3+x ? ¿Cuándo no son iguales? Usa tus diagramas para explicar.

8.3 Identifiquemos expresiones equivalentes

Esta es una lista de expresiones. Encuentra parejas de expresiones que sean equivalentes. Si tienes dificultades, trata de razonar usando diagramas.

a+3

a+a+a

a \div \frac13

a \boldcdot 3

\frac13 a

3a

\frac{a}{3}

1a

a

3+a

¿Estás listo para más?

A continuación hay cuatro preguntas sobre expresiones equivalentes. Para cada una: 

  • Decide si piensas que las expresiones son equivalentes.
  • Evalúa tu decisión escogiendo números para x (y y , si es necesario).
  1. ¿ \dfrac{x \boldcdot  x \boldcdot  x \boldcdot  x}{x} y x \boldcdot x \boldcdot x son expresiones equivalentes?
  2. ¿ \dfrac{x + x + x + x}{x} y x + x + x son expresiones equivalentes?
  3. ¿ 2(x+y) y 2x + 2y son expresiones equivalentes?
  4. ¿ 2xy y 2x \boldcdot 2y son expresiones equivalentes?

Resumen de la lección 8

Podemos usar diagramas que muestren longitudes de rectángulos para ver cuándo son iguales las expresiones. Por ejemplo, las expresiones x+9 y 4x son iguales cuando x es 3, pero no son iguales para otros valores de x .

A veces dos expresiones son iguales solo para un valor particular de su variable. Otras veces, parecen ser iguales sin importar el valor de la variable.

Las expresiones que siempre son iguales para el mismo valor de su variable se llaman expresiones equivalentes. Sin embargo, sería imposible evaluar todos los valores posibles de la variable. ¿Cómo podemos saber con certeza que las expresiones son equivalentes?

Usamos el significado de las operaciones y las propiedades de las operaciones para saber que las expresiones son equivalentes. Estos son algunos ejemplos:

  • x+3 es equivalente a  3+x por la propiedad conmutativa de la suma.
  • 4\boldcdot {y} es equivalente a y\boldcdot 4 por la propiedad conmutativa de la multiplicación.
  • a+a+a+a+a es equivalente a 5\boldcdot {a} porque sumar 5 copias de algo es lo mismo que multiplicarlo por 5.
  • b\div3 es equivalente a b \boldcdot {\frac13} porque dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su recíproco.

En las lecciones que siguen veremos cómo otra propiedad, la propiedad distributiva, puede mostrar que algunas expresiones son equivalentes.

Términos del glosario

expresiones equivalentes

Dos expresiones numéricas son equivalentes si tienen el mismo valor. Dos expresiones con variables son equivalentes si, al remplazar la variable por cualquier número, siempre dan el mismo valor .

Por ejemplo, 2(7-3)+2 es equivalente a \frac{35+5} 4 , porque ambas expresiones valen 10 . La expresión con variables 3x+4x es equivalente a 5x+2x , porque sin importar qué valor le demos a  x , estas expresiones siempre valdrán lo mismo. Cuando x=3 , ambas expresiones valen 21. Cuando x=10 , ambas expresiones valen 70. 

Problemas de práctica de la lección 8

    1. Dibuja un diagrama de x + 3 y un diagrama de 2x cuando x es 1.

    2. Dibuja un diagrama de x+3 y de 2x cuando x es 2.

    3. Dibuja un diagrama de x+3 y de 2x cuando x es 3.

    4. Dibuja un diagrama de x+3 y de 2x cuando x es 4.

    5. ¿Cuándo son x+3 y 2x iguales? ¿Cuándo no son iguales? Usa tus diagramas para explicar.
    1. ¿Tienen 4x y 15+x el mismo valor cuando x es 5?
    2. ¿Son 4x y 15+x expresiones equivalentes? Explica tu razonamiento.
    1. Verifica que 2b + b y 3b tienen el mismo valor cuando b es 1, 2 y 3.
    1. ¿Tienen 2b +b y 3b el mismo valor para todos los valores de b ? Explica tu razonamiento.
    1. ¿Son 2b+b y 3b expresiones equivalentes?

  4. El 80% de x es igual a 100.

    1. Escribe una expresión que muestre la relación entre 80%, x  y 100.
    1. Usa tu ecuación para hallar x .

  5. Para cada problema basado en una historia, escribe una ecuación que lo represente y luego resuélvela. Asegúrate de explicar el significado de cualquier variable que utilices.

    1. El perro de Jada tenía una altura de 5\frac{1}{2} pulgadas cuando era un cachorro. Ahora es 14\frac{1}{2} pulgadas más alto que antes. ¿Cuál es la altura del perro de Jada ahora?
    2. Lin recogió  9 \frac{3}{4} libras de manzanas, lo que fue 3 veces el peso de las manzanas que recogió Andre. ¿Cuántas libras de manzanas recogió Andre?