Unidad 5Las grandes ideas

Sumemos y restemos números racionales

Esta semana nuestros estudiantes estarán sumando y restando números negativos. Podemos representar esto usando flechas en una recta numérica. La flecha para un número positivo apunta hacia la derecha y la flecha para un número negativo apunta hacia la izquierda. Para sumar números, ponemos las flechas cola con punta.

Por ejemplo, esta es una recta numérica que muestra \text-5 + 12 = 7 :

El primer número se representa con una flecha que comienza en 0, apunta hacia la izquierda y mide 5 unidades. El siguiente número se representa con una flecha que comienza exactamente en la punta de la primera, apunta hacia la derecha y mide 12 unidades. La respuesta es 7, porque la punta de esta segunda flecha termina sobre el 7 de la recta numérica.

En la escuela primaria, los estudiantes aprendieron que cualquier ecuación de suma tiene dos ecuaciones de resta relacionadas. Por ejemplo, si sabemos que 3 + 5 = 8 , entonces también sabemos que 8 - 5 = 3 y 8 - 3 = 5 .

Lo mismo ocurre cuando hay números negativos en la ecuación. Del ejemplo anterior, \text-5 + 12 = 7 , también sabemos que 7 - 12 = \text-5 y 7 - \text-5 = 12 .

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

  1. Usen la recta numérica para representar 3 + \text-5 .
     
  2. Indiquen qué les dice su respuesta sobre los valores de:
    1. \text-2-3
    2. \text-2-\text-5

Solución:

  1. La primera flecha comienza en 0, mide 3 unidades y apunta hacia la derecha. La segunda flecha comienza en la punta de la primera, mide 5 unidades y apunta hacia la izquierda. Esta segunda flecha termina encima del -2, entonces, 3+\text-5 = \text-2 .
  2. De la ecuación de suma 3 + \text-5 = \text-2 , obtenemos las dos ecuaciones de resta relacionadas:
    1. \text-2-3 = \text-5
    2. \text-2 - \text-5 = 3

Multipliquemos y dividamos números racionales

Esta semana nuestros estudiantes estarán multiplicando y dividiendo números negativos. Las reglas para multiplicar números positivos y negativos están diseñadas para asegurarse de que la suma y la multiplicación funcionen igual que siempre.

Por ejemplo, en la escuela primaria los estudiantes aprendieron a pensar en "4 veces 3" como 4 grupos de 3, es decir,  4 \boldcdot 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 . Podemos pensar en "4 veces -3" de la misma manera: 4 \boldcdot \text-3 = (\text-3) + (\text-3) + (\text-3) + (\text-3) = \text-12 . Otra propiedad importante de la multiplicación es que podemos multiplicar números en cualquier orden. Esto significa que \text-3 \boldcdot 4 = 4 \boldcdot \text-3 = \text-12 .

¿Qué sucede con \text-3 \boldcdot \text-4 ? Puede parecer extraño, pero la respuesta es 12. Para entender por qué, podemos pensar que -4 es (0-4) .

(\text-3) \boldcdot (\text-4)

(\text-3)\boldcdot(0-4)

(\text-3 \boldcdot 0) - (\text-3 \boldcdot 4)

0 - \text-12

12

Después de practicar más, nuestros estudiantes podrán recordar lo siguiente sin necesidad de pensar en ejemplos:

  • Un positivo por un negativo es un negativo.
  • Un negativo por un positivo es un negativo.
  • Un negativo por un negativo es un positivo.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

  1. Calculen 5 \boldcdot \text-2 .
  2. Usen su respuesta a la pregunta anterior para calcular:
    1. \text-2 \boldcdot 5
    2. \text-2 \boldcdot \text-5
    3. \text-5 \boldcdot \text-2

Solución:

  1. La respuesta es \text-10 . Podemos pensar en 5 \boldcdot \text-2 como 5 grupos de -2, entonces 5 \boldcdot \text-2 = (\text-2) + (\text-2) + (\text-2) + (\text-2) + (\text-2) = \text-10
    1. La respuesta es \text-10 . Podemos multiplicar los números en cualquier orden, por lo tanto \text-2 \boldcdot 5 = 5 \boldcdot \text-2 = \text-10
    2. La respuesta es 10. Podemos pensar que  \text-5 es (0-5)  y, así, \text-2 \boldcdot (0-5) = 0 - \text-10 = 10 .
    3. La respuesta es 10. Posibles estrategias:
      • Podemos pensar que \text-2 es (0-2) y, así,  \text-5 \boldcdot (0-2) = 0 - \text-10 = 10 .
      • Podemos multiplicar los números en cualquier orden, por lo tanto  \text-5 \boldcdot \text-2 = \text-2 \boldcdot \text-5 = 10 .

Cuatro operaciones con números racionales

Esta semana, nuestros estudiantes van a usar lo que saben sobre números negativos para resolver ecuaciones.

  • El opuesto de 5 es -5, pues 5 + \text-5 = 0 . A esto también se le llama el inverso aditivo.
  • El recíproco de 5 es \frac15 , pues 5 \boldcdot \frac15 = 1 . A esto también se le llama el inverso multiplicativo.

Pensar en opuestos y en recíprocos nos puede ayudar a resolver ecuaciones. Por ejemplo, ¿qué valor de x hace que la ecuación x + 11 = \text-4 sea verdadera?

\begin{align} x + 11 &= \text-4 \\ x + 11 + \text-11 &= \text-4 + \text-11 \\ x &= \text-15 \end{align}

11 y -11 son opuestos.

La solución es -15.

¿Qué valor de y hace que la ecuación \frac{\text-1}{3}y = 6 sea verdadera?

\begin{align} \frac{\text-1}{3} y &= 6 \\ \text-3 \boldcdot \frac{\text-1}{3} y &= \text-3 \boldcdot 6 \\ y &= \text-18 \end{align}

\frac{\text-1}{3} \text-3 son recíprocos.

La solución es -18.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Resuelvan cada ecuación:

25 + a = 17

\text-4b = \text-30

\frac{\text-3}{4}c = 12

Solución:

  1. -8, pues 17 + \text-25 = \text-8 .
  2. 7.5 o algo equivalente, pues \frac{\text-1}{4} \boldcdot \text-30 = 7.5 .
  3. -16, pues \frac{\text-4}{3} \boldcdot 12 = \text-16 .