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Lección 12Tasas negativas

Apliquemos lo que sabemos sobre números con signo.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo resolver problemas que involucran multiplicación y división de números racionales.
  • Puedo resolver problemas que involucran tasas negativas.

12.1 Uvas por cada minuto

  1. Si comes 5 uvas por cada minuto durante 8 minutos, ¿cuántas uvas comerás?
  2. Si escuchas 9 canciones nuevas por cada día durante 3 días, ¿cuántas canciones nuevas escucharás?
  3. Si corres 15 vueltas por cada entrenamiento, ¿cuántos entrenamientos necesitarás para correr 30 vueltas?

12.2 El nivel del agua en el acuario

  1. Un acuario grande debe contener 10,000 litros de agua si se ha llenado de manera adecuada. Se rebosará si llega a los 12,000 litros. Los peces se enfermarán si baja a 4,000 litros. El acuario tiene un sistema automático para ayudar a mantener el nivel correcto de agua. Si el nivel del agua es demasiado bajo, un grifo lo llena. Si el nivel del agua es demasiado alto, se abre un drenaje.

    Un día, el sistema deja de funcionar correctamente. El grifo comienza a llenar el acuario a una tasa de 30 litros por cada minuto y el drenaje se abre al mismo tiempo, drenando el agua a una tasa de 20 litros por cada minuto.

    1. ¿El nivel del agua está subiendo o bajando? ¿Cómo lo sabes?
    2. ¿Cuánto tardará el tanque en comenzar a rebosarse o los peces en enfermarse?

  2. Un acuario distinto debe contener 15,000 litros de agua si se ha llenado de manera adecuada. Se rebosará si llega a 17,600 litros.

    Un día hay un accidente y el tanque se agrieta en 4 lugares. El agua sale de cada grieta a una tasa de  \frac12 litros por cada hora. Una bomba de emergencia puede llenar el tanque a una tasa de 2 litros por cada minuto. ¿Durante cuántos minutos debe funcionar la bomba para remplazar el agua que se pierde cada hora?

12.3 Para arriba y para abajo con los Piccards

  1. El abismo de Challenger es el punto más profundo que se conoce en el océano, a 35,814 pies bajo el nivel del mar. En 1960, Jacques Piccard y Don Walsh se sumergieron en el Trieste y se convirtieron en las primeras personas en visitar el abismo de Challenger.

    “Bathyscaphe Trieste” por U.S. Navy vía Wikipedia. Dominio público.
    1. Si 0 pies representa el nivel del mar, explica cómo puedes representar la profundidad de un submarino que desciende desde el nivel del mar hasta el fondo del abismo de Challenger.
    2. El descenso del Trieste tuvo un cambio en profundidad de -3 pies por cada segundo. Podemos modelar esto usando la relación y=\text-3x , donde y es la profundidad (en pies) y x es el tiempo (en segundos). Usando este modelo, ¿cuánto tardaría el Trieste en alcanzar el fondo?
    3. El Trieste tardó 3 horas en regresar al nivel del mar. Esto se puede modelar con una relación diferente y=kx . ¿Cuál es el valor de k en esta situación?

  2. El diseño del Trieste se basaba en el diseño de un globo de aire caliente construido por Auguste Piccard, el padre de Jacques. En 1932, Auguste manejó su globo de aire caliente hacia una altura sin precedentes.

    1. El ascenso de Auguste tardó 7 horas y subió 51,683 pies. Escribe una relación y=kx para representar su ascenso desde su posición inicial.
    2. El descenso de Auguste tardó 3 horas y bajó 52,940 pies. Escribe otra relación para representar su descenso.
    3. ¿Auguste Piccard terminó a una altitud mayor o menor a la de su punto inicial? ¿Por cuánto fue mayor o por cuánto fue menor?

¿Estás listo para más?

¿Durante cuál parte del viaje un Piccard estuvo cambiando de posición vertical más rápidamente? Explica tu razonamiento.

  1. En el descenso de Jacques
  2. En el ascenso de Jacques
  3. En el ascenso de Auguste
  4. En el descenso de Auguste

Resumen de la lección 12

Antes vimos que es posible representar la rapidez con dirección usando números con signo. La rapidez con dirección se llama velocidad. Las velocidades positivas siempre representan movimiento en la dirección opuesta a la de las velocidades negativas.

Podemos hacer esto con el movimiento vertical: el movimiento hacia arriba se puede representar con números positivos y el movimiento hacia abajo con números negativos. La magnitud nos dice qué tan rápido y el signo nos dice en cuál dirección (de hecho, se podría hacer esto al contrario si se quisiera, pero por lo general positivo significa hacia arriba y negativo significa hacia abajo).

Problemas de práctica de la lección 12

    1. Una receta de galletas utiliza 3 tazas de harina para hacer 15 galletas. Siguiendo esta receta, ¿cuántas galletas puedes hacer con 4 tazas de harina? (Puedes suponer que tienes suficiente de los otros ingredientes).
    2. Un profesor utiliza 36 centímetros de cinta para poner 9 proyectos de sus estudiantes en la pared. A esa tasa, ¿cuánta cinta necesitará el profesor para poner 10 proyectos de estudiantes en la pared?

  2. Evalúa cada expresión. Cuando la respuesta no sea un número entero, escribe tu respuesta como una fracción.

    1. \text-4 \boldcdot \text-6
    2. \text-24 \boldcdot \frac {\text{-}7}{6}
    3. 4 \div \text-6
    4. \frac43 \div \text-24

  3. Unos botes estaban viajando río arriba y río abajo. Un satélite registró los movimientos de varios botes.

    1. Un bote a motor recorrió -3.4 millas por cada hora en 0.75 horas. ¿Cuánto avanzó?
    2. Un remolcador recorrió -1.5 millas en 0.3 horas. ¿Cuál fue su velocidad?
    3. ¿Qué piensas que las distancias negativas y velocidades pueden significar en esta situación?

  4. Describe una situación donde cada una de las siguientes cantidades podría ser útil.

    1. -20 galones por cada hora
    2. -10 pies por cada minuto
    3. -0.1 kilogramos por cada segundo

  5. A un submarino solo se le permite cambiar su profundidad al subir hacia la superficie en tramos de 60 metros. El submarino comienza a -340 metros.

    1. Indica a qué profundidad está después de:

      1. 1 tramo
      2. 2 tramos
      3. 4 tramos
    2. ¿Cuántos tramos necesitará para regresar a la superficie?