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Lección 16Representemos contextos con ecuaciones

Escribamos ecuaciones que representen situaciones.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo escribir y resolver ecuaciones para representar situaciones que incluyen números racionales.
  • Puedo explicar qué significa la solución de una ecuación para la situación.

16.1 No la resolvamos

¿La solución es positiva o negativa?

(\text-8.7)(1.4) = a

\text- 8.7b = 1.4

\text-8.7 + c = \text- 1.4  

\text-8.7 - d = \text- 1.4

16.2 ¿Más caliente o más frío que antes?

En cada situación:

  • Encuentra dos ecuaciones del banco de ecuaciones que puedan representar la situación (algunas ecuaciones no se usarán).

  • Explica qué representa la variable v en la situación.

  • Encuentra el valor de la variable que hace verdadera la ecuación y explica tu razonamiento.

Banco de ecuaciones:

-3v=9 v = -16 + 6 v = \frac13 \boldcdot (-6) v+12=4 -4\boldcdot 3=v
v = 4 + (-12) v = -16 - (6) v=9+3 -4 \boldcdot -3 = v -3v = -6
-6 + v = -16 -4 = \frac13v v=-\frac13 \boldcdot 9 v = -\frac13 \boldcdot (-6) v = 4 + 12
  1. Entre las 6 a.m. y el mediodía la temperatura subió 12 grados Fahrenheit, a 4 grados Fahrenheit.
  2. A medianoche la temperatura era -6 grados. A las 4 a.m. la temperatura había descendido a -16 grados.
  3. La temperatura es 0 grados a medianoche y disminuye 3 grados cada hora. La temperatura es -6 grados en cierto momento.
  4. La temperatura es 0 grados a medianoche y disminuye 3 grados cada hora. La temperatura es 9 grados en cierto momento.
  5. La temperatura a las 9 p.m. es un tercio de la temperatura a medianoche.

Puedes usar este applet si te parece útil:

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16.3 Animales que cambian de altitud

  1. Relaciona cada situación con un diagrama.

    1. Un pingüino está parado 3 pies sobre el nivel del mar y luego se sumerge 10 pies. ¿Cuál es su profundidad?
    2. Un delfín nada 3 pies bajo el nivel del mar y luego salta 10 pies hacia arriba. ¿Cuál es la altura en lo más alto del salto?
    3. Una tortuga marina nada 3 pies bajo el nivel del mar y luego se sumerge 10 pies. ¿Cuál es su profundidad?
    4. Un águila vuela 10 pies sobre el nivel del mar y luego desciende a 3 pies sobre el nivel del mar. ¿Cuál fue su cambio de altitud?
    5. Un pelícano vuela 10 pies sobre el nivel del mar y luego desciende hasta alcanzar 3 pies bajo el nivel del mar. ¿Cuál fue su cambio de altitud?
    6. Un tiburón nada 10 pies bajo el nivel del mar y luego nada hacia arriba hasta alcanzar 3 pies bajo el nivel del mar. ¿Cuál fue su cambio de profundidad?
    1. A number line with the numbers negative 10 through 10 indicated. An arrow starts at 3, points to the left, and ends at negative 7. A second arrow starts at 0, points to the right, and ends at 3.
    2. A number line with the numbers negative 10 through 10 indicated. An arrow starts at 0, points to the right, and ends at 10. A solid dot is indicated at 3.
    3. A number line with the numbers negative 10 through 10 indicated. An arrow starts at 0, points to the left, and ends at negative 10. A solid dot is indicated at negative 3.
    4. A number line with the numbers negative 10 through 10 indicated. An arrow starts at negative 3, points to the right, and ends at 7. A second arrow starts at 0, points to the left, and ends at negative 3.
    5. A number line with the numbers negative 10 through 10 indicated. An arrow starts at negative 3, points to the left, and ends at negative 13. A second arrow starts at 0, points to the left, and ends at negative 3.
    6. A number line with the numbers negative 10 through 10 indicated. An arrow starts at 0, points to the right, and ends at 10. A solid dot is indicated at negative 3.

  2. A continuación, escribe una ecuación para representar la situación de cada animal y responder la pregunta. Prepárate para explicar tu razonamiento.

    1. Pingüino
    2. Delfín
    3. Tortuga marina
    4. Águila
    5. Pelícano
    6. Tiburón

16.4 Las ecuaciones cuentan una historia

Tu profesor le asignará a tu grupo una de estas situaciones. Crea una muestra visual de tu situación que incluya:

  • Una ecuación que represente tu situación

  • Lo que tu variable y cada término de la ecuación representan

  • Cómo las operaciones de la ecuación representan las relaciones de la historia

  • Cómo usas inversos para hallar la cantidad desconocida

  • La solución de tu ecuación

  1. Mientras una vela de 7\frac14 pulgadas se quema, su altura disminuye  \frac34 de pulgada cada hora. ¿Cuántas horas tarda la vela en quemarse completamente?

  2. El lunes, \frac19 de los estudiantes matriculados en una escuela estuvo ausente. Hubo 4,512 estudiantes presentes. ¿Cuántos estudiantes están matriculados en la escuela?

  3. Un caminante empieza al nivel del mar y desciende 25 pies cada minuto. ¿Cuánto tardará en llegar a una elevación de -750 pies?

  4. Jada practica violín la misma cantidad de tiempo todos los días. El martes practica 35 minutos. ¿Cuánto practica Jada en una semana?

  5. La temperatura ha caído 2\frac12 grados cada hora y en este momento es  \text-15 ^\circ\text{F} . ¿Hace cuántas horas la temperatura era  0^\circ\text{F} ?

  6. La población de una escuela aumentó 12% y ahora la población es 476. ¿Cuál era la población antes del aumento?

  7. Durante una promoción con descuentos de 5%, Diego paga $74.10 por un palo de hockey nuevo. ¿Cuál era el precio original?

  8. Una tienda compra suéteres a $8 y los vende a $26. ¿Cuántos suéteres necesita vender la tienda para tener una utilidad de $990?

¿Estás listo para más?

Diego y Elena están a 2 millas de distancia y empiezan a caminar el uno hacia el otro. Diego camina a una tasa de 3.7 millas por hora y Elena camina 4.3 millas por hora. Mientras caminan, el perro de Elena corre de un lado para otro entre los dos, a una tasa de 6 millas por hora. Suponiendo que el perro no pierde tiempo girando, ¿cuánto ha recorrido el perro cuando Diego y Elena se encuentran?

Resumen de la lección 16

Se pueden usar variables y ecuaciones que incluyen números con signo para representar una historia o responder preguntas sobre una situación.

Por ejemplo, si la temperatura es \text-3^\circ\text{C} y luego disminuye a \text-17^\circ\text{C} , se puede hacer que x represente el cambio de temperatura y escribir la ecuación:

\text-3 + x = \text- 17

Se puede resolver la ecuación sumando 3 a cada lado. Como \text-17 + 3 = \text-14 , el cambio es \text-14^\circ\text{C} .

Este es otro ejemplo: si una estrella de mar desciende \frac32 pies cada hora, se puede resolver  \text-\frac32h=\text-6 para encontrar cuántas horas h necesita la estrella de mar para bajar 6 pies.

Se puede resolver esta ecuación multiplicando cada lado por  \text-\frac23 . Como \text-\frac23\boldcdot \text-6 = 4 , se sabe que la estrella de mar necesitará 4 horas para descender 6 pies.

Problemas de práctica de la lección 16

  1. Empareja cada situación con una de las ecuaciones. 

    1. Una ballena se sumerge a una tasa de 2 metros por cada segundo. ¿Cuánto tardará la ballena en pasar de la superficie del océano a una altitud de -12 metros, a esa tasa?
    2. Una nadadora se sumergió bajo la superficie del océano. Después de 2 minutos, ella estaba 12 metros bajo la superficie. ¿A qué tasa se estaba sumergiendo?
    3. La temperatura era -12 grados Celsius y subió a 2 grados Celsius. ¿Cuál fue el cambio de temperatura?
    4. La temperatura era 2 grados Celsius y cayó a -12 grados Celsius. ¿Cuál fue el cambio de temperatura?
    1. \text-12 + x = 2
    2. 2 + x = \text-12
    3. \text-2x = \text-12
    4. 2x = \text-12

  2. Desde el medio día, la temperatura disminuyó constantemente a una tasa de 0.8 grados Celsius cada hora.

    Para cada una de estas situaciones, escribe y resuelve una ecuación y describe lo que representa tu variable.

    1. ¿Cuántas horas tardó la temperatura en disminuir 4.4 grados Celsius?

    2. Si después de la disminución de 4.4 grados, la temperatura era -2.5 grados Celsius, ¿cuál era la temperatura a medio día?

  3. Kiran mezcla \frac34  tazas de uvas pasas, 1 taza de maní y \frac12  taza de chispas de chocolate para hacer una mezcla de frutos secos. ¿Cuánto de cada ingrediente necesitaría para hacer 10 tazas de mezcla de frutos secos? Explica tu razonamiento.

  4. Encuentra el valor de cada expresión.

    1. 12 + (\text-10)
    2. (\text-5) - 6
    3. (\text-42) + 17
    4. 35 - (\text-8)
    5. (\text-4\frac12) + 3

  5. Las marcas en la recta numérica están separadas uniformemente. Etiqueta las demás marcas en la recta numérica.

    A blank number line with 9 evenly spaced tick marks. Starting on the left, the fourth tick mark is labeled negative 30, the fifth tick mark is labeled 0, and the ninth tick mark is labeled 45.

  6. Kiran bebe 6.4 oz de leche cada mañana. ¿Cuántos días tarda en terminar un recipiente de leche de 32 oz?

    1. Escribe y resuelve una ecuación de la situación.

    2. ¿Qué representa la variable?