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Lección 15Resolvamos ecuaciones con números racionales

Resolvamos ecuaciones que incluyen valores negativos.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo resolver ecuaciones que incluyen números racionales y tienen soluciones racionales.

15.1 Conversación numérica: opuestos y recíprocos

Todas las variables de a hasta h representan números diferentes. Mentalmente, encuentra números que hagan verdadera cada ecuación.

\frac35 \boldcdot \frac53 = a

7 \boldcdot b = 1

c \boldcdot d = 1

\text-6 + 6 = e

11 + f = 0

g + h = 0

15.2 Emparejemos soluciones

Empareja cada ecuación con un valor que la haga verdadera arrastrando la respuesta a la ecuación correspondiente. Prepárate para explicar tu razonamiento.

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15.3 Un paseo a las montañas

El club de senderismo está en un paseo para subir una montaña.

  1. Los miembros aumentaron su elevación 290 pies durante su caminata esta mañana. Ahora están a una elevación de 450 pies.

    1. Explica cómo encontrar su elevación antes de la caminata.
    2. Han dice que la ecuación e + 290 = 450 describe la situación. ¿Qué representa la variable e ?
    3. Han dice que puede plantear su ecuación como e=450 + (\text-290) para hallar el valor de  e . Compara la estrategia de Han con tu estrategia para hallar la elevación inicial.

  2. La temperatura disminuyó 4 grados en la última hora. Ahora es 21 grados. Escribe y resuelve una ecuación para hallar la temperatura de hace 1 hora.

  3. Hay 3 veces tantos estudiantes participando en el paseo de senderismo este año como los que hubo el año pasado. Hay 42 estudiantes en el paseo este año.

    1. Explica cómo hallar el número de estudiantes que vino al paseo de senderismo el año pasado.
    2. Mai dice que la ecuación 3s=42 describe la situación. ¿Qué representa la variable s ?
    3. Mai dice que puede plantear su ecuación como s=\frac13 \boldcdot 42 para hallar el valor de s . Compara la estrategia de Mai con tu estrategia para hallar el número de estudiantes en el paseo del año pasado.

  4. El costo del paseo de senderismo este año es \frac23 del costo del paseo del año pasado. El costo del paseo de este año es $32. Escribe y resuelve una ecuación para hallar el costo del paseo del año pasado.

¿Estás listo para más?

A continuación se muestra una recta numérica. Los números 0 y 1 están marcados en la recta, al igual que otros números racionales a y b .

A number line with 4 tick marks. The number 0 is indicated. Rational number a is to the right of 0 and 1 is slightly more than halfway between 0 and a. Rational number b is to the far left of 0, where b is a greater distance from 0 than a is from 0.

Determina cuáles de los siguientes números son positivos y cuáles son negativos.

a-1

a-2

\text-b

a+b

a-b

ab+1

15.4 Clasificación de tarjetas: emparejar inversos

Su profesor les dará una colección de cartas que tienen ciertos números.

  1. Emparejen los números con sus inversos aditivos.
  2. Después, emparejen los números con sus inversos multiplicativos.
  3. ¿Qué observan acerca de los números y sus inversos?

Resumen de la lección 15

Para resolver la ecuación  x + 8 = \text-5 , podemos sumar a cada lado el opuesto de 8 (es decir, -8):

\begin{align} x + 8 &= \text-5\\ (x+ 8) + \text-8&=(\text-5)+ \text-8\\ x&=\text-13 \end{align}

Como sumar el opuesto de un número es igual que restar ese número, también podemos pensar en este proceso como restar 8 en cada lado.

Podemos usar el mismo método para esta ecuación:

\begin{align} \text-12 & = t +\text- \frac29\\ (\text-12)+ \frac29&=\left( t+\text-\frac29\right) + \frac29\\\text-11\frac79& = t\end{align}

Para resolver la ecuación 8x = \text-5 , podemos multiplicar cada lado por el recíproco de 8, (es decir, \frac18 ):

\begin{align} 8x & = \text-5\\ \frac18 ( 8x )&= \frac18 (\text-5)\\ x&=\text-\frac58 \end{align}

Como multiplicar por el recíproco de un número es igual que dividir por ese número, también podemos pensar en este proceso como dividir cada lado por 8. Podemos usar el mismo método para esta ecuación:

\begin{align} \text-12& =\text-\frac29 t\\ \text-\frac92\left( \text-12\right)&= \text-\frac92 \left(\text-\frac29t\right) \\ 54& = t\end{align}

Problemas de práctica de la lección 15

  1. Resuelve.

    1. \frac25t=6

    2. \text-4.5 = a-8

    3. \frac12+p= \text-3

    4. 12=x \boldcdot 3

    5. \text-12 = \text-3y

  2. Evalúa cada expresión si x es \frac{2}{5} , y es \text-4 y z es -0.2.

    1. x+y

    2. 2x-z

    3. x+y+z

    4. y \boldcdot x

  3. Empareja cada ecuación con un paso que ayudará a resolver la ecuación.

    1. 5x=0.4
    2. \frac{x}{5}=8
    3. 3=\frac {\text{-}x}{5}
    4. 7=\text-5x
    1. Multiplicar cada lado por 5.
    2. Multiplicar cada lado por -5.
    3. Multiplicar cada lado por \frac15 .
    4. Multiplicar cada lado por \frac {\text{-}1}{5} .
    1. Escribe una ecuación donde un número se sume a una variable y una solución sea -8.
    2. Escribe una ecuación donde un número se multiplique por una variable y una solución sea  \frac {\text{-}4}{5} .

  5. Las marcas en la recta numérica están separadas uniformemente. Etiqueta las demás marcas en la recta numérica.

    A blank number line with 9 evenly spaced tick marks. Starting on the left, the first tick mark is labeled negative 2 point 5, the fourth tick mark is labeled negative 1, and the sixth tick mark is labeled 0.

  6. En 2012, James Cameron bajó al fondo del Abismo de Challenger en la Fosa de las Marianas; el punto más profundo del océano. El sumergible que condujo se llamaba DeepSea Challenger.

    El Abismo de Challenger tiene 35,814 pies de profundidad en su punto mínimo.

    1. El descenso del DeepSea Challenger tuvo un cambio en profundidad de (\text-4) pies por cada segundo. Podemos usar la ecuación y=\text-4x para modelar esta relación, donde y es la profundidad y x es el tiempo que ha transcurrido en segundos. Según este modelo, ¿cuánto tiempo en segundos tardaría el DeepSea Challenger en alcanzar el fondo?
    2. Para finalizar la misión, el DeepSea Challenger subió la superficie en una hora. ¿Cuántos segundos es esto?
    3. El ascenso se puede modelar con una relación proporcional distinta  y=kx . ¿Cuál es el valor de k en este caso?