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Lección 9Movidas en paralelo

Transformemos algunas rectas.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo describir los efectos que tiene una transformación rígida sobre un par de rectas paralelas.
  • Si tengo un par de ángulos opuestos y conozco la medida de ángulo de uno de ellos, puedo encontrar la medida de ángulo del otro.

9.1 Movidas de rectas

Para cada diagrama, describe la traslación, rotación o reflexión que lleva la recta  \ell a la recta  \ell’ . Luego ubica y etiqueta  A' y  B' , las imágenes de  A y  B .

  1. Two parallel lines. One is labelled L and has points A and B labelled on it. The other line is labelled L prime.
  2. Two lines, one labelled L, on labelled L prime. They intersect at a point A. another point, labelled B is on line L.

9.2 Rectas paralelas

Three parallel lines. One is labelled A. One is labelled with B. There is a point on line B labelled with a K. The third line is labelled H.

Usen una hoja de papel de calcar para trazar las rectas a y  b y el punto K . Luego, usen papel de calcar para dibujar las imágenes de las rectas al realizar estas tres transformaciones distintas de la lista.

Mientras realizan cada transformación, piensen en la pregunta:

¿Cuál es la imagen de dos rectas paralelas al realizar una transformación rígida?

  1. Trasladen las rectas a y  b 3 unidades hacia arriba y 2 unidades hacia la derecha.

    1. ¿Qué observan acerca de los cambios que les ocurren a las rectas a y b luego de la traslación?
    2. ¿Qué tienen en común la original y la imagen?

  2. Roten las rectas a y b en sentido contrario a las manecillas del reloj 180 grados usando K como centro de rotación.

    1. ¿Qué observan acerca de los cambios que les ocurren a las rectas a y  b luego de la rotación?

    2. ¿Qué tienen en común la original y la imagen?

  3. Reflejen las rectas  a y  b con respecto a la recta  h .

    1. ¿Qué observan acerca de los cambios que les ocurren a las rectas a y  b luego de la reflexión?
    2. ¿Qué tienen en común la original y la imagen?

¿Estás listo para más?

Cuando se rotan dos rectas paralelas, algunas veces las dos rectas originales intersecan sus imágenes y forman un cuadrilátero. ¿Qué es lo más específico que puedes decir de este cuadrilátero?, ¿puede ser un cuadrado?, ¿un rombo?, ¿un rectángulo que no es un cuadrado? Explica tu razonamiento.

9.3 Hagamos rotaciones de 180

  1. El diagrama muestra una recta con puntos etiquetados  A , C , D  y  B . 

    1. En el diagrama, dibuja la imagen de la recta y los puntos  A , C  y  B , luego de que la recta se haya rotado 180 grados alrededor del punto D .

    2. Etiqueta las imágenes de los puntos  A' , B'  y  C' .

    3. ¿Cuál es el orden de los siete puntos? Explica o muestra tu razonamiento.

    Four points on a line, labelled in order: A, C, D, B.
  2. El diagrama muestra una recta con puntos  A y  C sobre la recta y un segmento  AD , en donde  D no está en la recta.

    1. Rota la figura 180 grados alrededor del punto  C . Etiqueta la imagen de  A con  A' y la imagen de  D con  D' .

    2. ¿Qué sabemos sobre la relación entre el ángulo  CAD y el ángulo  CA'D' ? Explica o muestra tu razonamiento.

    A line with points A and C on the line and a segment A D where D is not on the line
  3. El diagrama muestra dos rectas  \ell y  m que se intersecan en un punto O , con el punto A sobre  \ell y el punto D sobre  m .

    1. Rota la figura 180 grados alrededor de  O . Etiqueta la imagen de  A con A' y la imagen de  D con  D' .

    2. ¿Qué sabes acerca de la relación entre los ángulos en la figura? Explica o muestra tu razonamiento.

    The diagram shows two lines L and M that intersect at a point O with point A on L and point D on M

Resumen de la lección 9

Las transformaciones rígidas tienen las siguientes propiedades:

  • Una transformación rígida de una recta es una recta.

  • Una transformación rígida de dos rectas paralelas da como resultado dos rectas paralelas que están a la misma distancia que las originales.

  • Algunas veces, una transformación rígida lleva una recta a sí misma. Por ejemplo:

    A line, labelled M. Points A, B, F, B prime and A prime are labelled on the line. A line of reflection intersects the line at point F and is perpendicular to the line M.

    • Una traslación paralela a la recta. La flecha muestra una traslación de la recta m que llevará m a sí misma.

    • Una rotación de 180^\circ alrededor del punto F llevará m a sí misma.

    • Una reflexión con respecto a cualquier recta perpendicular a la recta. Una reflexión de la recta m con respecto a la recta punteada llevará m a sí misma.

Estos hechos nos permiten sacar una conclusión importante. Si dos rectas se intersecan en un punto, que llamaremos O , entonces una rotación de 180^\circ de las rectas con centro O muestra que los ángulos opuestos son congruentes. Este es un ejemplo:

A pair of lines that intersect at point O. Two pairs of congruent vertical angles are labelled.

Rotar ambas rectas  180^\circ alrededor de O lleva el ángulo AOC al ángulo A'OC' , lo que demuestra que tienen la misma medida. La rotación también lleva el ángulo AOC' al ángulo  A'OC .

Términos del glosario

ángulos opuestos

Los ángulos opuestos se forman cuando dos rectas se intersecan. Comparten un vértice y están uno frente al otro. Su medida es la misma. 

Por ejemplo, los ángulos AEC y DEB son ángulos opuestos. Si el ángulo AEC mide 120^\circ , entonces el ángulo  DEB debe medir también 120^\circ .

Los ángulos  AED y BEC forman otro par de ángulos opuestos.

Problemas de práctica de la lección 9

    1. Dibuja las rectas paralelas AB y  CD .
    2. Elige cualquier punto como E . Rota  AB 90 grados en la dirección de las manecillas del reloj alrededor de E .
    3. Rota  CD 90 grados en la dirección de las manecillas del reloj alrededor de E .
    4. ¿Qué observas?

  2. Usa el diagrama para encontrar las medidas de cada ángulo. Explica tu razonamiento.

    1. m{\angle ABC}
    2. m{\angle EBD}
    3. m{\angle ABE}

  3. Los puntos P y Q están marcados sobre una recta.

    A line that slants upward and to the right with two plots labeled P and Q pointed on it. Point P is below point Q.
    1. Encuentra un punto  R de forma que una rotación de 180 grados con centro R envíe P a  Q y  Q a  P .
    2. ¿Hay más de un punto R que funcione para la parte a?

  4. En la imagen el triángulo A’B’C’ es una imagen del triángulo  ABC después de una rotación. El centro de rotación es  D .

    Triangle A prime, B prime, C prime is an image of triangle A, B, C after rotation around another point, D. Side B, C has length 4. Angle B prime has measure 52 degrees. Angle C prime has measure 50 degrees.
    1. ¿Cuál es la longitud del lado B’C’ ? Explica cómo lo sabes.
    2. ¿Cuál es la medida del ángulo B ? Explica cómo lo sabes.
    3. ¿Cuál es la medida del ángulo C ? Explica cómo lo sabes.

  5. El punto  (\text-4,1) se rota 180 grados en sentido contrario a las manecillas del reloj usando (0,0) como centro. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen?

    1. (\text-1,\text-4)
    2. (\text-1,4)
    3. (4,1)
    4. (4,\text-1)