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Lección 10Conozcamos la pendiente

Aprendamos sobre la pendiente de una recta.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo dibujar una recta dada su pendiente en una cuadrícula.
  • Puedo encontrar la pendiente de una recta en una cuadrícula.

10.1 Cocientes iguales

Escribe algunos números que sean iguales a  15 \div 12 .

10.2 Triángulos semejantes sobre la misma recta

  1. La figura muestra tres triángulos rectángulos, cada uno con su lado más largo sobre la misma recta.

    El profesor te asignará dos triángulos. Explica por qué los dos triángulos son semejantes.

  2. Completa la tabla.
    triángulo lado vertical lado horizontal  (lado vertical) \div (lado horizontal)
    ABC
    CDE
    FGH

10.3 Múltiples rectas con la misma pendiente

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  1. Dibuja dos rectas con pendiente 3. ¿Qué observas en las dos rectas?
  2. Dibuja dos rectas con pendiente  \frac{1}{2} . ¿Qué observas en las dos rectas?

¿Estás listo para más?

A medida que aprendemos más sobre rectas, en algún momento tendremos que considerar las rectas perfectamente verticales como un caso especial y tratarlas de una manera diferente. Piensa en usar lo que has aprendido en las últimas dos actividades para el caso de las rectas verticales. ¿Qué es parecido y qué es diferente?

10.4 Pendientes diferentes de rectas diferentes

Estas son varias rectas.

  1. Relaciona cada recta anterior con una pendiente de esta lista: \frac13 , 2, 1, 0.25, \frac32 , \frac12 .
  2. Una de las pendientes dadas no tiene una recta para emparejarla. Dibuja una recta con esta pendiente en la cuadrícula vacía (F).

Resumen de la lección 10

Esta es una recta dibujada sobre una cuadrícula. También hay cuatro triángulos rectángulos. ¿Observas algo que los triángulos tengan en común?

Estos cuatro triángulos son ejemplos de triángulos de pendiente. Un lado de un triángulo de pendiente está sobre la recta, un lado es vertical y el otro lado es horizontal. La pendiente de la recta es el cociente de la longitud del lado vertical y la longitud del lado horizontal del triángulo de pendiente. Este número es el mismo para todos los triángulos de pendiente de la misma recta porque todos los triángulos de pendiente de la misma recta son semejantes.

En este ejemplo, la pendiente de la recta es  \frac{2}{3} , que es lo que los cuatro triángulos tienen en común. Así es cómo se calcula la pendiente usando los triángulos de pendiente: 

  • Con los puntos  A y  B se obtiene  2\div 3=\frac23
  • Con los puntos  D y  B se obtiene  4\div 6=\frac23
  • Con los puntos  A y  C se obtiene  4\div 6=\frac23
  • Con los puntos  A y  E se obtiene  \frac23 \div 1=\frac23

Términos del glosario

pendiente

La pendiente de una recta es un número que podemos calcular usando cualesquiera dos puntos de la recta. Para ello, primero consideramos la distancia vertical entre ellos y la distancia horizontal entre ellos; la pendiente se halla al dividir la distancia vertical entre la distancia horizontal.

La pendiente de esta recta es 2 dividido entre 3, es decir \frac23 .

Problemas de práctica de la lección 10

  1. De las tres rectas en la gráfica, una tiene pendiente 1, otra tiene pendiente 2 y otra tiene pendiente  \frac{1}{5} . Marca cada recta con su pendiente.

  2. Dibuja tres rectas con pendiente 2 y tres rectas con pendiente  \frac 1 3 . ¿Qué observas?

  3. La figura muestra dos triángulos rectángulos; cada uno tiene su lado más largo sobre la misma recta.

    1. Explica cómo sabes que los dos triángulos son semejantes.
    2. ¿Cuál es el largo de  XY ?
    3. Para cada triángulo, calcula (lado vertical)  \div (lado horizontal).
    4. ¿Cuál es la pendiente de la recta? Explica cómo lo sabes.

  4. Las longitudes de los lados del triángulo  A son 3, 4 y 5. Las longitudes de los lados del triángulo  B son 6, 7 y 8.

    1. Explica cómo sabes que el triángulo  B no es semejante al triángulo  A .

    2. Indica posibles longitudes de los lados del triángulo  B para que este sea semejante al triángulo  A .