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Lección 3Representemos relaciones proporcionales

Grafiquemos las relaciones proporcionales.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo establecer la escala y marcar ejes de coordenadas para realizar la gráfica de una relación proporcional.

3.1 Conversación numérica: multiplicación

Encuentra mentalmente el valor de cada producto.

15 \boldcdot 2

15 \boldcdot 0.5

15 \boldcdot 0.25

15 \boldcdot (2.25)

3.2 Representaciones de relaciones proporcionales

  1. Estas son dos maneras de representar una situación.

    Descripción: Jada y Noah contaron la cantidad de pasos que dieron para caminar una distancia determinada. Para caminar la misma distancia:

    • Jada dio 8 pasos.
    • Noah dio 10 pasos.

    Luego descubrieron que cuando Noah había dado 15 pasos, Jada había dado 12 pasos.

    Ecuación:  x  representa el número de pasos que da Jada y y representa el número de pasos que da Noah.  y=\frac54x

    1. Crea una tabla que represente esta situación con al menos 3 pares de valores.

    2. Grafica esta relación y etiqueta los ejes.

    3. ¿Cómo puedes ver o calcular la constante de proporcionalidad en cada representación? ¿Qué significa?

    4. Explica cómo puedes saber que la ecuación, la descripción, la gráfica y la tabla representan la misma situación.

  2. Estas son dos formas de representar una situación.

    Descripción: el Club de Origami está haciendo una colecta de fondos lavando automóviles para recaudar dinero para un viaje. Cobran el mismo precio por cada automóvil. Después de 11 automóviles, recaudaron un total de $93.50. Después de 23 automóviles, recaudaron un total de $195.50.

    Tabla:

    cantidad de automóviles cantidad recaudada en dólares
    11 93.50
    23 195.50
    1. Escribe una ecuación que represente esta situación (usa c  para representar la cantidad de automóviles y m  para representar la cantidad recaudada en dólares).
    2. Crea una gráfica que represente esta situación.
    3. ¿Cómo puedes ver o calcular la constante de proporcionalidad en cada representación? ¿Qué significa?
    4. Explica cómo puedes saber que la ecuación, la descripción, la gráfica y la tabla representan la misma situación.

3.3 Falta de información: relaciones proporcionales

Tu profesor te dará o una tarjeta de problema o una tarjeta de datos. No muestres ni leas tu tarjeta a tu compañero.

Si tu profesor te da una tarjeta de problema:

  1. Lee tu tarjeta en silencio y piensa qué información necesitas para responder la pregunta.
  2. Pide a tu compañero la información específica que necesitas.
  3. Explica a tu compañero cómo vas a usar esa información para resolver el problema.
  4. Resuelve el problema y explica tu razonamiento a tu compañero.

Si tu profesor te da una tarjeta de datos:

  1. Lee la información de tu tarjeta en silencio.
  2. Pregunta a tu compañero: "¿Qué información específica necesitas?". Espera a que tu compañero te pida la información. Dale únicamente la información que esté en la tarjeta (¡no le ayudes a descifrar nada a tu compañero!).
  3. Antes de darle la información a tu compañero, pregúntale "¿por qué necesitas esa información?".
  4. Cuando tu compañero haya resuelto el problema, pídele que te explique su razonamiento y escucha su explicación.

Haz una pausa acá para que tu profesor pueda revisar tu trabajo. Pide a tu profesor un nuevo juego de tarjetas y repite la actividad, intercambiando roles con tu compañero.

¿Estás listo para más?

Diez personas pueden cavar cinco agujeros en tres horas. Supongamos que n  personas cavando a la misma tasa cavan m  agujeros en d  horas:

  1. ¿Es n  proporcional a m  cuando d=3 ?
  2. ¿Es n  proporcional a d  cuando m=5 ?
  3. ¿Es m  proporcional a d  cuando n=10 ?

Resumen de la lección 3

Las relaciones proporcionales se pueden representar de varias maneras. La representación que elijamos depende del propósito que tengamos. Cuando creamos representaciones, podemos elegir valores útiles si prestamos atención al contexto. Por ejemplo, una receta de estofado recomienda 3 zanahorias por cada 2 papas. Una forma de representar esto es usar una ecuación. Si hay p  papas y c  zanahorias, entonces c = \frac32p .

Supongamos que queremos hacer gran cantidad de esta receta para una reunión familiar, usando 150 papas. Para encontrar el número de zanahorias, podríamos simplemente usar la ecuación: \frac32\boldcdot 150= 225  zanahorias.

Ahora supongamos que la receta se usa en un restaurante que hace el estofado en grandes tandas de diferentes tamaños, dependiendo de qué tan ocupado esté el día, utilizando hasta 300 papas a la vez. Entonces, podríamos hacer una gráfica para mostrar cuántas zanahorias se necesitan para diferentes cantidades de papas. Configuramos un par de ejes de coordenadas con una escala de 0 a 300 a lo largo del eje horizontal y de 0 a 450 en el eje vertical, porque 450 = \frac32\boldcdot 300 . Entonces podemos leer cuántas zanahorias se necesitan para cualquier número de papas hasta 300.

O, si la receta se usa en una fábrica de alimentos que produce cantidades muy grandes y las papas vienen en bolsas de 150, podríamos simplemente hacer una tabla de valores que muestre la cantidad de zanahorias necesarias para diferentes múltiplos de 150.

número de papas número de zanahorias
150 225
300 450
450 675
600 900

No importa la representación o la escala utilizada, la constante de proporcionalidad, \frac32 , es evidente en cada una. En la ecuación, es el número por el que multiplicamos p ; en la gráfica, es la pendiente, y en la tabla, es el número por el que multiplicamos los valores en la columna de la izquierda para obtener los valores en la columna de la derecha. Podemos pensar en la constante de proporcionalidad como una tasa de cambio de c  con respecto a p . En este caso, la tasa de cambio es de \frac32 de zanahorias por cada papa.

Términos del glosario

tasa de cambio

La tasa de cambio en una relación lineal entre x y y , es la cantidad que y cambia cuando x aumenta en 1. La tasa de cambio en una relación lineal también es la pendiente de su gráfica. 

En esta gráfica, y aumenta en 15 dólares cuando x aumenta en 1 hora. La tasa de cambio es 15 dólares por hora.

Problemas de práctica de la lección 3

  1. A continuación se presenta una gráfica de una relación proporcional entre calorías y gramos de un pescado: 

    1. Escribe una ecuación que represente esta relación usando x para representar la cantidad de pescado en gramos y y para representar el número de calorías.   
    2. Utiliza tu ecuación para completar la tabla: 
      gramos de pescado número de calorías
      1000
      2001
      1

  2. Los estudiantes están vendiendo boletos de una rifa para recaudar fondos para la escuela. Ellos recolectan $24 por cada 10 boletos de rifa que venden.

    1. Supongamos que M es la cantidad de dinero que los estudiantes recaudan por vender R  boletos de la rifa. Escribe una ecuación que muestre la relación entre M y R .
    2. Marca y establece la escala de los ejes y grafica esta situación con M en el eje vertical y R en el eje horizontal. Asegúrate de que la escala sea suficientemente grande para ver cuánto recaudarían si se vendieran 1000 boletos.

  3. Describe cómo puedes saber si una pendiente de una recta es mayor que 1, igual a 1 o menor que 1.

  4. La ecuación  \frac{y}{x-2}=\frac{3}{11} representa una recta. ¿Cuáles son las coordenadas de algunos puntos que están sobre la recta? Grafica la recta en papel cuadriculado.