Lección 7Representaciones de relaciones lineales

Escribamos ecuaciones a partir de situaciones reales.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo escribir una ecuación para la relación entre el volumen total de un cilindro graduado y la cantidad de objetos añadidos al cilindro graduado.
  • Puedo usar patrones para escribir una ecuación lineal para representar una situación.

7.1 Estimación: ¿cuál contiene más?

¿Cuál vaso podría contener más agua? ¿Cuál menos? 

7.2 Aumento del nivel del agua

Mueve el círculo verde para establecer el nivel inicial del agua en el valor que tú o tu profesor elijan.   

  1. ¿Cuál es el volumen, V , del cilindro después de agregar: 
    1. 3 objetos?
    2. 7 objetos?
    3. x objetos? Explica tu razonamiento.
  2. Si quisieras que el agua alcanzara la marca más alta del cilindro, ¿cuántos objetos necesitarías?   

  3. Marca y etiqueta los puntos que muestren tus mediciones en el experimento. 

  1. Dibuja y marca un punto que muestre la profundidad del agua antes de agregar cualquier objeto.   

  2. Los puntos deben quedar sobre una recta. Usa una regla para graficar esta recta.

  3. Calcula la pendiente de la recta usando varios triángulos diferentes. ¿Importa qué triángulo utilices para calcular la pendiente? ¿Por qué sí o por qué no?   

  4. La ecuación de la recta en el experimento tiene dos números y dos variables. ¿Qué cantidades físicas representan los dos números? ¿Qué representa V y qué representa x ?    

¿Estás listo para más?

Una situación está representada por la ecuación y = 5 +\frac12 x .

  1. Inventa una historia para esta situación.  

  2. Grafica la ecuación. 

  3. Qué representan el \frac12  y el 5 en tu situación? 

  4. ¿Dónde ves el \frac12  y el 5 en la gráfica?

7.3 Calculemos la pendiente

  1. Para cada gráfica, registra: 
    cambio vertical cambio horizontal pendiente
  2. Describe un procedimiento para encontrar la pendiente entre dos puntos cualesquiera de una recta.

  3. Escribe una expresión para la pendiente de la recta en la gráfica usando las letras u, v, s t .

Resumen de la lección 7

Digamos que tenemos un cilindro de vidrio lleno con 50 ml de agua y un montón de canicas que tienen 3 ml de volumen. Si dejamos caer canicas en el cilindro de una en una, podemos observar el aumento de la misma magnitud en la altura del agua: 3 ml por cada canica que se agregue. Esta tasa de cambio constante significa que hay una relación lineal entre la cantidad de canicas y la altura del agua. Al agregar una canica, la altura del agua sube 3 ml. Al agregar 2 canicas, la altura del agua sube 6 ml. Al agregar  x  canicas, la altura del agua sube 3x  ml.

Razonando de esta manera, podemos calcular que la altura, y , del agua para x  canicas es y=3x+50 . Cualquier relación lineal puede expresarse de la forma y=mx+b  usando solo la tasa de cambio, m , y la cantidad inicial, b . El 3 representa la tasa de cambio o la pendiente de la gráfica y el 50 representa la cantidad inicial o la intersección con el eje vertical de la gráfica. En lecciones futuras aprenderemos algunas formas más de pensar esta ecuación. 

Ahora, ¿qué pasaría si no tuviéramos una descripción que exprese cúal es la pendiente y cúal es la intersección con el eje vertical? ¡Está bien, siempre y cuando podamos encontrar algunos puntos en la recta! Para la recta graficada aquí, (3,3)  y (9,5) son dos puntos sobre la recta; podemos usar estos puntos para dibujar un triángulo de pendiente como se muestra a continuación:

La pendiente de esta recta es el cociente de la longitud del lado vertical del triángulo de pendiente y la longitud del lado horizontal del triángulo de pendiente. Entonces la pendiente, m , es \frac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}}=\frac26=\frac13  . También podemos ver en la gráfica que la intersección con el eje vertical, b , es 2. Al juntarlos, podemos decir que la ecuación de esta recta es y=\frac13x+2 .

Problemas de práctica de la lección 7

  1. Estas son recetas para dos pasteles de banano diferentes. La información para la primera receta se muestra en la tabla.

    azúcar (tazas) harina (tazas)
    \frac12 \frac34
    2\frac12 3\frac34
    3 4\frac12

    La relación entre las tazas de harina y y las tazas de azúcar x en la segunda receta es  y=\frac74x

    1. Si utilizaste 4 tazas de azúcar ¿cuánta harina se necesita para cada receta?
    2. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad para cada situación y qué significa?
  2. Muestra que las dos figuras son semejantes, identificando una secuencia de traslaciones, rotaciones, reflexiones y dilataciones que lleve la figura más grande a la más pequeña.

  3. Crea una gráfica que muestre tres relaciones lineales con diferentes intersecciones con el eje y usando las siguientes pendientes y escribe una ecuación para cada recta.   

    Pendientes:

    • \frac15
    • \frac35
    • \frac65
  4. La gráfica muestra la altura en pulgadas, h , de una planta de bambú después de t meses de haber sido plantada. 

    1. Escribe una ecuación que describa la relación entre  h t .
       
    2. ¿Después de cuántos meses la planta de bambú medirá 66 pulgadas de altura? Explica o muestra tu razonamiento.