Lección 8Traslademos a y=mx+b
Veamos lo que pasa con las ecuaciones de rectas trasladadas.
Metas de aprendizaje:
- Puedo escribir ecuaciones de rectas usando .
- Puedo explicar dónde encontrar la pendiente y la intersección con el eje vertical en una ecuación y en su gráfica.
8.1 Rectas que son traslaciones
El diagrama muestra varias rectas. Solo se puede ver una parte de las rectas, pero en realidad éstas continúan infinitamente en ambas direcciones.
- ¿Cuáles rectas son imágenes de la recta al realizar una traslación? Es decir, ¿cuáles rectas se pueden obtener al realizar una traslación de la recta ?
- Para cada recta que sea una traslación de , dibuja una flecha en la cuadrícula que muestre la distancia de la traslación vertical.
8.2 Aumento del ahorro
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Diego gana $10 por cada hora cuidando niños. Supongamos que no tiene dinero ahorrado antes de comenzar a cuidar niños y planea ahorrar todas sus ganancias. Grafica cuánto dinero, , tiene después de horas cuidando niños.
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Ahora imagina que Diego comenzó a cuidar niños con $30 ahorrados. En el mismo par de ejes, grafica la cantidad de dinero, , que tendría después de horas cuidando niños.
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Compara la segunda recta con la primera recta. ¿Cuánto dinero más tiene Diego después de 1 hora cuidando niños?, ¿2 horas?, ¿5 horas?, ¿ horas?
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Escribe una ecuación para cada recta.
8.3 Traslaciones de una recta
- Experimenta moviendo el punto .
- Ubica el punto en tres lugares diferentes por encima del eje . Para cada ubicación, escribe la ecuación de la recta y las coordenadas del punto .
- Ubica el punto en tres lugares diferentes por debajo del eje . Para cada ubicación, escribe la ecuación de la recta y las coordenadas del punto .
- ¿Qué cambia en las ecuaciones cuando mueves la recta? ¿Qué permanece igual?
- Si la recta pasa por el origen, ¿qué ecuación se muestra? ¿Por qué crees que ocurre esto?
- Tu profesor te dará 12 tarjetas. Hay 4 pares de rectas, de A a D, que muestran la gráfica () de una relación proporcional y la imagen () de al realizar una traslación. Asocia cada recta con una ecuación, así como con una tabla o con una descripción. Para la recta que no tiene una ecuación asociada, escribe una ecuación en la tarjeta en blanco.
¿Estás listo para más?
Un estudiante dice que la gráfica de la ecuación es la misma que la gráfica de , solo que se traslada hacia arriba 8 unidades. ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué sí o por qué no?
Resumen de la lección 8
Durante una tormenta a principios de invierno, la nieve cayó a una tasa de pulgada por cada hora. Podemos ver la tasa de cambio, , tanto en la ecuación que representa esta tormenta, , como en la pendiente de la recta que representa esta tormenta.
Además de ser una relación lineal entre el tiempo transcurrido desde que comenzó la tormenta y la profundidad de la nieve, también podemos llamar a esto una relación proporcional ya que la profundidad de la nieve era 0 al comienzo de la tormenta.
Durante una tormenta a mediados de invierno, la nieve volvió a caer a una tasa de pulgada por cada hora, pero esta vez ya habían 5 pulgadas de nieve en el suelo. Podemos graficar esta tormenta en los mismos ejes que la primera tomando todos los puntos de la gráfica de la primera tormenta y trasladándolos hacia arriba 5 pulgadas.
2 horas después del comienzo de cada tormenta, ha caído 1 pulgada de nieve reciente. Para la primera tormenta, esto significa que ahora hay 1 pulgada de nieve en el suelo. Para la segunda tormenta, esto significa que ahora hay 6 pulgadas de nieve en el suelo. A diferencia de la primera tormenta, la segunda no es una relación proporcional ya que la recta que representa la segunda tormenta tiene una intersección con el eje vertical en 5. La ecuación que representa la tormenta, , tiene la forma , donde es la tasa de cambio y la pendiente de la gráfica, y es la cantidad inicial y la intersección con el eje vertical de la gráfica.
Problemas de práctica de la lección 8
Selecciona todas las ecuaciones que tengan gráficas con la misma intersección con el eje .
Realiza una gráfica que muestre las ecuaciones y . Explica en qué se parecen y en qué se diferencian las gráficas.
Una compañía de cable cobra $70 por cada mes de servicio a sus clientes actuales.
- Encuentra una ecuación lineal que represente la relación entre , la cantidad de meses de servicio y , la cantidad total en dólares que paga un cliente actual.
- Para clientes nuevos hay una tarifa inicial extra de $100 que se paga una sola vez. Realiza el problema anterior pero esta vez para nuevos clientes.
- Que relación hay entre las las gráficas de las ecuaciones cuando se grafican en el mismo par de ejes?
Relaciona cada gráfica con una situación.
- La gráfica representa el perímetro, , en unidades, de un triángulo equilátero con una longitud de lado de unidades. La pendiente de la recta es 3.
- La cantidad de dinero, , en una caja registradora después de que se compren boletos para los juegos de carnaval. La pendiente de la recta es .
- La cantidad de capítulos leídos, , después de días. La pendiente de la recta es .
- La gráfica muestra el costo en dólares, , de un domicilio de muffins y la cantidad de muffins, , que se pidieron. La pendiente de la recta es 2.
Una carretera de montaña tiene 5 millas de largo y la elevación aumenta a una tasa constante. Después de 2 millas, la elevación es de 5500 pies sobre el nivel del mar. Después de 4 millas, la elevación es de 6200 pies sobre el nivel del mar.
- Encuentra la elevación de la carretera en el punto donde esta comienza.
- Describe dónde verías el punto de la parte (a) en una gráfica donde representa la elevación en pies y representa la distancia de la carretera en millas.