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Lección 17Cambiar la escala de una dimensión

Veamos cómo cambia el volumen de una figura al cambiar una dimensión. 

Metas de aprendizaje:

  • Puedo crear una gráfica de la relación entre el volumen y la altura de todos los cilindros (o conos) con un radio fijo.
  • Puedo explicar en mis propias palabras por qué cambiar la altura por un factor de escala cambia el volumen por el mismo factor de escala.

17.1 Conducir cierta distancia

Esta es una gráfica de la cantidad de gasolina que consume durante un viaje un camión, que se está conduciendo a una rapidez constante por una autopista. 

  1. Al final del viaje, ¿qué distancia se condujo el camión y cuánta gasolina usó?
  2. Si un camión viajó la mitad de la distancia a la misma tasa, ¿cuánta gasolina usó?
  3. Si un camión viajó el doble de la distancia a la misma tasa, ¿cuánta gasolina usó? 
  4. Completa la oración: ___________ es una función de _____________.  
A line is graphed in the coordinate plane with the origin labeled "O." The horizontal axis is labeled "distance traveled in miles" and the numbers 0 through 240, in increments of 40, are indicated. The vertical axis is labeled "gas burned in gallons" and the numbers 0 through 100, in increments of 10, are indicated. The line begins at the origin. It moves slants upward and to the right passing through the coordinates 80 comma 10, 160 comma 20, and ends at the point 240 comma 30.

17.2 Duplicar la arista

Hay muchos prismas rectangulares rectos con una arista de 5 unidades de longitud y otra arista de 3 unidades de longitud. La variable s representa la longitud de la tercera arista y la variable V representa el volumen del prisma.

  1. Escribe una ecuación que represente la relación entre V y s .

  2. Grafica esta ecuación.

  3. ¿Qué pasa con el volumen si se duplica la longitud de arista s ? ¿En qué parte de la gráfica puedes observar esto? ¿Dónde puedes observar esto de una manera algebraica?

17.3 Reducir la altura a la mitad

Hay muchos cilindros con radio de 5 unidades. En esta actividad, la variable h representa la altura y la variable V representa el volumen de estos cilindros. 

  1. Escribe una ecuación que represente la relación entre V y h . Usa 3.14 como una aproximación de  \pi .

  2. Grafica la ecuación.

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  3. ¿Qué pasa con el volumen si reduces la altura h a la mitad? ¿En qué parte de la gráfica puedes observar esto? ¿Cómo lo puedes observar de una manera algebraica?

¿Estás listo para más?

Supongamos que tenemos un prisma rectangular con dimensiones de 2 unidades por 3 unidades por 6 unidades y queremos hacer un prisma rectangular con 216 unidades cúbicas de volumen, alargando una de sus tres dimensiones.

  • ¿Cuáles son las tres formas de hacer esto? De estas formas, ¿cuál produce el prisma con la menor área de superficie?
  • Repite este proceso para un prisma rectangular inicial con dimensiones de 2 unidades por 6 unidades por 6 unidades. 
  • ¿Puedes dar algunos consejos generales a alguien que quiera hacer una caja con un volumen determinado y que quiera tener la menor superficie posible para ahorrar costos en los materiales?

17.4 Descubre las dimensiones de un cono

Esta es una gráfica de la relación entre la altura y el volumen de algunos conos que tienen el mismo radio: 

A line is graphed in the coordinate plane with the origin labeled “O”. The horizontal axis is labeled “height of cone” and the numbers 0 through 12 are indicated. The vertical axis is labeled “volume of cone” and the numbers 0 through 4000, in increments of 1000, are indicated. The line begins at the origin. It moves steadily upward and to the right passing through the point that is labeled 10 comma 2355.
  1. ¿Qué representan las coordenadas del punto etiquetado? 
  2. ¿Cuál es el volumen del cono de altura 5?, ¿y el del cono de altura 30?
  3. Usa el punto etiquetado para encontrar el radio de estos conos. Usa 3.14 como una aproximación de \pi .
  4. Escribe una ecuación que relacione el volumen  V y la altura h .

Resumen de la lección 17

Imagina un cilindro de radio 5 cm que se está llenando con agua. A medida que la altura del agua aumenta, el volumen del agua aumenta. 

Sabemos que el volumen V del agua en el cilindro depende de la altura h del agua. Podemos representar esta relación con una ecuación: V= \pi \boldcdot 5^2h o simplemente:

V = 25\pi h

Esta ecuación representa una relación proporcional entre la altura y el volumen. Podemos usar esta ecuación para comprender cómo cambia el volumen si la altura se triplica.

Two identical right circular cylinders with different amounts of shading. The cylinder on the left has a radius labeled 5. The height of the shading in the cylinder on the left is labeled h. The cylinder on the right has a radius labeled 5. The height of the shading in the cylinder on the right is labeled "three h."

El nuevo volumen sería  V = 25 \pi (3h) = 75 \pi h , que es exactamente 3 veces mayor que el volumen anterior de 25\pi h . En general, si una cantidad en una relación proporcional cambia por un factor determinado, la otra cantidad cambia por el mismo factor. 

Recordemos que las relaciones proporcionales son ejemplos de relaciones lineales, y estas también se pueden pensar como funciones. Así, en este ejemplo, el volumen  V de agua en el cilindro es una función de la altura h del agua.

Problemas de práctica de la lección 17

  1. Un cilindro tiene un volumen de 48 \pi cm3 y una altura h . Completa esta tabla para volumen de cilindros que tienen igual radio pero diferentes alturas. 

    altura (cm) volumen (cm3)
    h 48\pi
    2h
    5h
    \frac h2
    \frac h5

  2. Un cilindro tiene un radio de 3 cm y una altura de 5 cm.

    1. ¿Cuál es el volumen del cilindro?
    2. ¿Cuál es el volumen del cilindro si su altura se triplica?
    3. ¿Cuál es el volumen del cilindro si su altura se reduce a la mitad?

  3. Un tubo de ensayo de 24 cm de alto puede contener 1 L de agua. ¿Cuál es el radio del tubo? ¿cuál es la altura para el de 500 ml? ¿cuál es la altura para el de 250 ml? Recuerda que 1 litro (L) es tanto como 1000 mililitros (ml).

  4. Una heladería ofrece dos conos de helado. El cono de galleta contiene 12 onzas y es 5 pulgadas de alto. El cono de azúcar también contiene 12 onzas y es 8 pulgadas de alto. ¿Cuál cono tiene el mayor radio?

  5. Un vaso de papel de 6 oz tiene la forma de un cono con diámetro de 4 pulgadas. ¿Cuántas onzas de agua podrá contener una vaso cilíndrico plástico con un diámetro 4 pulgadas si este tiene la misma altura de la copa de papel?

  6. El teléfono inteligente de Lin estaba completamente cargado cuando ella comenzó la escuela a las 8:00 a.m. A las 9:20 a.m., estaba cargado en un 90%, y al mediodía estaba cargado en un 72%.

    1. ¿Cuándo crees que su batería se agotará?

    2. ¿Es la vida de la batería una función del tiempo? Si así es, ¿es esta una función lineal? Explica tu razonamiento.