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Lección 16Hallemos las dimensiones del cono

Descubramos las dimensiones de conos. 

Metas de aprendizaje:

  • Puedo encontrar información que falta sobre un cono si conozco su volumen y otra información.

16.1 Conversación numérica: tercios

En cada ecuación, decide cuál valor, si hay alguno, la haría verdadera.

27=\frac13h

27=\frac13r^2

12\pi=\frac13\pi a

12\pi=\frac13\pi b^2

16.2 Un radio desconocido

El volumen V de un cono con radio r está dado por la fórmula V=\frac13 \pi r^2h .

A cone. The radius is labeled "r" and the height is labeled "3."

El volumen de este cono con altura 3 unidades y radio r es V=64\pi unidades cúbicas. Este enunciado es verdadero:

64\pi =\frac13 \pi r^2 \boldcdot 3 ¿Cuál tiene que ser el radio del cono? Explica cómo lo sabes.

16.3 Conos con dimensiones desconocidas

A cone with three labeled measurements. A dashed line goes through the center of the circular base and touches two points on the base's edge and is labeled d. Another dashed line is drawn from the center of the circular base, touches the edge of the circular base, and is labeled r. A third dashed line is drawn from the center of the circular base to a point cenetred above the circular base and is labeled

Cada fila de la tabla tiene información sobre un cono en particular. Completa la tabla con las dimensiones que faltan.

diámetro (unidades) radio (unidades) área de la base (unidades cuadradas) altura (unidades) volumen del cono (unidades cúbicas)
4 3
\frac{1}{3} 6
36\pi \frac14
20 200\pi
12 64\pi
3 3.14

¿Estás listo para más?

Un cono truncado es el resultado de tomar un cono y quitarle un trozo con un corte paralelo a la base (el trozo que se quita es un cono más pequeño).

Determina una fórmula para el volumen de un cono truncado, en la que decidas cuáles cantidades usas en tu fórmula.

16.4 Ofertas de palomitas de maíz

Un cine ofrece dos recipientes:

An image of two containers of popcorn. The first container of popcorn is shaped like a cone. The distance from the edge of the opening to the point at the bottom is labeled 19 centimeters. The distance that passes through the center of the circlular base from one edge of the opening to the other edge of the opening is 12 centimeters. The price is labeled as 6 point 7 5 dollars. The second container of popcorn is shaped like a cylinder. The horizontal distance from the edge of the opening to the bottom of the container is 15 centimeters. The distance that passes through the center of the circular base from one edge of the opening to the other edge of the opening is 8 centimeters. The price is labeled as 6 point 2 5 dollars.
¿Cuál recipiente tiene mejor precio? Usa 3.14 como una aproximación para \pi .

Resumen de la lección 16

Como vimos con cilindros, el volumen V de un cono depende del radio r de la base y la altura  h :

V=\frac13 \pi r^2h

Si conocemos el radio y la altura, podemos determinar el volumen. Si conocemos el volumen de un cono y una de las dimensiones (su radio o altura), podemos determinar la otra dimensión.

Por ejemplo, imagina un cono con un volumen de 64\pi  cm3, una altura de 3 cm y un radio desconocido r . A partir de la fórmula de volumen, sabemos que:

64 \pi = \frac{1}{3}\pi r^2 \boldcdot 3

Al examinar la estructura de la ecuación, podemos ver que r^2 = 64 , así que el radio debe ser 8 cm.

Imagina un cono distinto con un volumen de  18 \pi  cm3, un radio de 3 cm y una altura desconocida  h . Al usar la fórmula para el volumen del cono, sabemos que

18 \pi = \frac{1}{3} \pi 3^2h

así que la altura debe ser 6 cm. ¿Puedes ver por qué?

Problemas de práctica de la lección 16

  1. El volumen de este cilindro es 175\pi unidades cúbicas.

    A drawing of a cylinder.

    ¿Cuál es el volumen de un cono que tiene la misma área de la base y la misma altura?

  2. Un cono tiene un volumen de 12\pi pulgadas cúbicas. Su altura es 4 pulgadas. ¿Cuál es su radio?

  3. Un cono tiene un volumen de 3 \pi .

    1. Si el radio del cono es 1, ¿cuál es su altura?

    2. Si el radio del cono es 2, ¿cuál es su altura?

    3. Si el radio del cono es 5, ¿cuál es su altura?

    4. Si el radio del cono es \frac 1 2 , ¿cuál es su altura?

    5. Si el radio del cono es r , entonces ¿cuál es su altura?

  4. Tres personas juegan cerca del agua. La persona A se para en el muelle. La persona B inicia en la parte superior del poste y se lanza por el cable al agua. La persona C sale del agua y sube por el poste del cable. Relaciona las personas con las gráficas. El eje horizontal representa el tiempo en segundos y el eje vertical representa la altura sobre el nivel del agua en pies.

  5. Una habitación tiene 15 pies de alto. Un arquitecto quiere incluir una ventana que tenga 6 pies de alto. La distancia entre el piso y la parte inferior de la ventana es b pies. La distancia entre el techo y la parte superior de la ventana es  a pies. Esta relación se puede describir con la ecuación a = 15 - (b + 6)

    1. ¿Cuál es la variable independiente en la ecuación dada?
    2. Si el arquitecto quiere que b sea 3, ¿Qué significa esto? ¿Qué valor de a funcionaría para el valor que se le dio a b ?
    3. El cliente quiere que haya 5 pies de espacio arriba de la ventana. ¿El cliente se refiere a a o a  b ? ¿Cuál es el valor de la otra variable?