Open Up Resources Logo

Lección 15El volumen de un cono

Exploremos conos y sus volúmenes.

Metas de aprendizaje:

  • Conozco la fórmula para el volumen de un cono.
  • Puedo determinar el volumen de un cono en situaciones matemáticas y del mundo real.

15.1 ¿Cuál tiene un volumen mayor?

El cono y el cilindro tienen la misma altura y los radios de sus bases son iguales.

  1. ¿Cuál figura tiene un volumen mayor?
  2. ¿Crees que el volumen de la más pequeña es mayor o menor que \frac12 del volumen de la más grande? Explica tu razonamiento.
A right circular cylinder and a right circular cone. Both the cylinder and the cone have a height of 8.
  1. Este es un método para dibujar rápidamente un cono: 
    A figure of three drawings. From left to right, the first drawing is of an oval. In the second drawing is of the oval and a point centered directly above the oval. The third drawing is of the oval and the point above the oval where two line segments are drawn from the point to the edges of the oval.
    • Dibujar un óvalo.
    • Dibujar un punto centrado sobre el óvalo.
    • Unir los extremos del óvalo con el punto.
    • ¿Cuáles partes del dibujo estarían ocultas detrás del objeto? Estas se hacen con líneas punteadas.
    Dibuja dos conos de tamaños distintos. ¡El óvalo no tiene que estar en la parte inferior! En cada dibujo, etiqueta el radio del cono con r y la altura con h .

15.2 De cilindros a conos

A right cirular cylinder and a right circular cone. Both the cylinder and the cone have a height labeled h and have a radius labeled r.

Supongamos que un cono y un cilindro tienen la misma altura y sus bases son círculos congruentes.

  1. Si el volumen del cilindro es 90 cm3, ¿cuál es el volumen del cono?
  2. Si el volumen del cono es 120 cm3, ¿cuál es el volumen del cilindro?
  3. Si el volumen del cilindro es V=\pi r^2h , ¿cuál es el volumen del cono? Escribe una expresión para el volumen del cono o explica la relación en palabras.

15.3 Calculemos ese cono

  1. Estos son un cilindro y un cono que tienen la misma altura y la misma área de la base.

    ¿Cuál es el volumen de cada figura? Expresa tus respuestas en términos de \pi .

    A right circular cylinder and a right circular cone. The cylinder has a diameter of 10 and a height of 4. In the cone, the height is indicated with dashed line and the radius is also indicated with a dashed line.
  2. Este es un cono.
    1. ¿Cuál es el área de la base? Expresa tu respuesta en términos de  \pi .
    2. ¿Cuál es el volumen del cono? Expresa tu respuesta en términos de \pi .
    A right circular cone with a height of 8 and a radius of 6.
  3. Una taza de palomitas de maíz con forma de cono tiene un radio de 5 centímetros y una altura de 9 centímetros. ¿Cuántos centímetros cúbicos de palomitas de maíz puede contener la taza? Usa 3.14 como una aproximación para  \pi y da una respuesta numérica.

¿Estás listo para más?

Un silo de granos tiene una boquilla en forma de cono en su parte de abajo para regular el flujo de grano hacia afuera del silo. El diámetro del silo es 8 pies. La altura de la parte cilíndrica del silo que está sobre la boquilla en forma de cono mide 12 pies, y la altura de todo el silo es 16 pies.

¿Cuántos pies cúbicos de grano se mantienen en la boquilla en forma de cono del silo? ¿Cuántos pies cúbicos de grano puede contener todo el silo?

Resumen de la lección 15

Si un cono y un cilindro tienen la misma base y la misma altura, entonces el volumen del cono es \frac{1}{3} del volumen del cilindro. Por ejemplo, el cilindro y el cono que se muestran aquí tienen una base con radio de 3 pies y una altura de 7 pies.

El cilindro tiene un volumen de 63\pi pies cúbicos ya que \pi \boldcdot 3^2 \boldcdot 7 = 63\pi . El cono tiene un volumen que es  \frac13 de esto, es decir,  21\pi pies cúbicos.

An image of a right circular cone and a right circular cylinder. The cone has a height of 7 and radius of 3. The cylinder has a height of 7 and a radius of 3.

Si el radio de ambos es  r y la altura de ambos es h , entonces el volumen del cilindro es  \pi r^2h . Esto significa que el volumen, V , del cono es V=\frac{1}{3}\pi r^2h .

Problemas de práctica de la lección 15

  1. Un cilindro y un cono tienen la misma altura y el mismo radio. La altura de cada uno es 5 cm y el radio es 2 cm. Calcula el volumen del cilindro y del cono.

  2. El volumen de este cono es 36\pi unidades cúbicas.

    A drawing of a cone.

    ¿Cuál es el volumen de un cilindro que tiene la misma área de la base y la misma altura?

  3. Un cilindro tiene un diámetro de 6 cm y un volumen de 36\pi cm3.

    1. Esboza el cilindro.
    2. Determina su altura y radio en centímetros.
    3. Etiqueta tu dibujo con la altura y el radio del cilindro.

  4. Lin quiere obtener algunas camisetas impresas por encargo para su equipo de baloncesto. Las camisetas cuestan $10 cada una si ordenas 10 o menos, y $9 cada una si ordenas 11 o más.

    1. Haz una gráfica que muestre el costo total de comprar las camisetas, de 0 a 15 camisetas.

    2. Hay 10 personas en el equipo. ¿Ahorran dinero si compran una camiseta extra? Explica tu razonamiento.

    3. ¿Cuál es la pendiente de la gráfica entre 0 y 10? ¿Qué significa en la historia?

    4. ¿Cuál es la pendiente de la gráfica entre 11 y 15? ¿Qué significa en la historia?

  5. En las siguientes gráficas, el eje horizontal representa el tiempo y el eje vertical representa la distancia desde la escuela. Escribe una posible historia para cada gráfica.