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Lección 4Tablas, ecuaciones y gráficas de funciones

Conectemos ecuaciones y gráficas de funciones.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo identificar gráficas que representan y que no representan funciones.
  • Puedo usar la gráfica de una función para encontrar la salida de una entrada dada y para encontrar las entradas de una salida dada.

4.1 Observemos y preguntémonos: devolviéndose

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

4.2 Ecuaciones y gráficas de funciones

Estas son las gráficas de tres funciones:

The graphs of three functions on the coordinate plane labeled A, B, and C. Graph A is the graph of a curve with the origin labeled O. The horizontal axis has the numbers 1 through 3 indicated and the vertical axis has the numbers 10 through 40, in increments of 10, indicated. The curve begins at the origin, extends to the right, and then extends upward and to the right. Graph B is the graph of a line with the origin labeled O. The horizontal axis has the numbers 1 through 3 indicated and the vertical axis has the numbers 50 through 200, in increments of 50, indicated. The line begins at the origin and slants upward and to the right. Graph C is the graph of a line with the origin labeled O. The horizontal axis has the nubers 20 through 100, in increments of 20, indicated and the vertical axis has the numbers 10 through 50, in increments 10, indicated. The line begins on the vertical axis at 50 and slants downward and to the right.
  1. Empareja cada una de estas ecuaciones con una de las gráficas.
    1. d=60t , en la que  d es la distancia en millas que se recorre en  t horas si se conduce a 60 millas por hora.
    2. q = 50-0.4d , en la que  q es el número de monedas de 25 centavos y  d es el número de monedas de 10 centavos en un montón de monedas que tiene un valor de $12.50.
    3. A = \pi r^2 , en la que A es el área (en centímetros cuadrados) de un círculo de radio  r centímetros.
  2. Etiqueta cada uno de los ejes con las variables independientes y dependientes, y con las cantidades que representan.
  3. Para cada ecuación: ¿cuál es la salida, si la entrada es 1? ¿Qué te dice esto sobre la situación? Etiqueta el punto correspondiente en la gráfica.
  4. Para cada ecuación, encuentra otras dos parejas de entrada y salida. ¿Qué te dicen sobre la situación? Etiqueta los puntos correspondientes en la gráfica.

¿Estás listo para más?

Una función tiene como entradas las fracciones \frac{a}{b} , entre 0 y 1, en las que a y  b no tienen factores comunes, y tiene como salida la fracción  \frac{1}{b} . Por ejemplo, dada la entrada  \frac34 , la función tiene como salida  \frac14 , y dada la entrada \frac12 , la función tiene como salida  \frac12 . Estas dos parejas de entrada y salida se muestran en la gráfica.

Ubica al menos 10 puntos más en la gráfica de esta función. ¿La mayoría de los puntos en la gráfica están por encima o por debajo de una altura de  0.3 ?, ¿y de una altura de 0.01 ?

4.3 Alrededor de una pista

  1. Kiran estaba corriendo por la pista. La gráfica muestra el tiempo t  que tardó en recorrer una distancia d . La tabla muestra el tiempo que lleva (en segundos) cada vez que recorre tres metros más.
    The graph of a curve in the coordinate plane with the origin labeled “O”. The horizontal axis is labeled “distance, in meters” and the numbers 0 through 30, in increments of 3, are indicated. The vertical axis is labeled “time, in seconds” and the numbers 0 through 10 are indicated. The curve begins at the origin and moves steadily upward and to the right. The line passes through the points with approximate coordinates 3 comma 1, 12 comma 4, and 30 comma 10.
    d 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27
    t 0 1.0 2.0 3.2 3.8 4.6 6.0 6.9 8.09 9.0
    1. ¿Cuánto tardó Kiran en recorrer los primeros 6 metros?
    2. ¿Cuánto había recorrido luego de 6 segundos?
    3. Estima cuándo había recorrido los primeros 19.5 metros.
    4. Estima cuánto había recorrido durante los primeros 4 segundos.
    5. ¿El tiempo de Kiran es una función de la distancia que él ha recorrido? Explica cómo lo sabes.

  2. Priya corre una vez por de la pista. La gráfica muestra su tiempo a medida que se aleja de su punto de partida.

    1. ¿Cuál fue su distancia más lejana desde el punto de partida?
    2. Estima cuánto tardó en correr por la pista.
    3. Estima cuándo había recorrido 100 metros desde el punto de partida.
    4. Estima qué tan lejos estaba de la línea de partida luego de 60 segundos.
    5. ¿El tiempo de Priya es una función de su distancia desde el punto de partida? Explica cómo lo sabes.

Resumen de la lección 4

Esta gráfica muestra cómo fue la carrera de Noah:

A graph of a function in the coordinate plane with the origin labeled "O". The horizontal axis is labeled “distance in meters” and the numbers 0 through 30, in increments of 3, are indicated. The vertical axis is labeled “time in seconds” and the numbers 0 through 10 are indicated. The function is approximately linear. It starts at the origin and moves upward and to the right, passing through the points with the coordinates 3 comma 1, 9 comma 3, 18 comma 6, and 30 comma 10.

El tiempo en segundos desde que comenzó a correr es una función de la distancia que ha corrido. El punto (18,6) de la gráfica indica que el tiempo que tarda en correr 18 metros es 6 segundos. La entrada es 18 y la salida es 6.

La gráfica de una función es todo el conjunto de parejas de coordenadas (entrada, salida) trazadas en el plano de coordenadas. Por convención, siempre colocamos la entrada primero, lo que significa que las entradas se representan en el eje horizontal y las salidas en el eje vertical.

Problemas de práctica de la lección 4

  1. La gráfica y la tabla muestran las temperaturas altas en una ciudad durante un periodo de 10 días.

    A scatterplot of 10 data values. The horizontal axis is labeled “day” and the numbers 1 through 10 are indicated. The vertical axis is labeled “high temperature, in degrees Fahrenheit” and the numbers 59 through 69 are indicated. The data are as follows: 1 comma 60, 2 comma 61, 3 comma 63, 4 comma 61, 5 comma 62, 6 comma 61, 7 comma 60, 8 comma 65, 9 comma 67, 10 comma 63.
    día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    temperatura (grados F) 60 61 63 61 62 61 60 65 67 63

    1. ¿Cuál fue la temperatura alta en el día 7?

    2. ¿Qué días tuvieron 61 grados de temperatura alta?

    3. ¿La temperatura alta es una función del día? Explica cómo lo sabes.

    4. ¿El día es una función de la temperatura alta? Explica cómo lo sabes.

  2. La cantidad que gana la hermana de Lin en su trabajo de medio tiempo es proporcional al número de horas que ella trabaja. Ella gana $9.60 por cada hora.

    1. Escribe una ecuación de la forma y=kx que describa esta situación, en la que x represente las horas que ella trabaja y y represente los dólares que gana.

    2. ¿ y es una función de x ? Explica cómo lo sabes.

    3. Escribe una ecuación que describa a x como una función de y .

  3. Usa la ecuación  2m+4s=16 para completar la tabla, luego dibuja la recta usando s como la variable dependiente. 

    m 0 -2
    s 3 0

  4. Resuelve el sistema de ecuaciones:​  \begin{cases} y=7x+10 \\ y=\text-4x-23 \\ \end{cases}