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Lección 7Conectemos representaciones de funciones

Conectemos tablas, ecuaciones, gráficas e historias de funciones.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo comparar entradas y salidas de funciones que se representan de diferentes formas.

7.1 ¿Cuáles son iguales? ¿Cuáles son diferentes?

Estas son tres formas diferentes de representar funciones. ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian?

  1. y = 2x
  2. The graph of a line in the a b coordinate plane with the origin labeled “O”. On the a axis, the numbers negative 4 through 4 are indicated. On the b axis, the numbers negative 4 through 4 are indicated. The line begins in Quadrant 3, moves upward and to the right, and passes through the point negative 1 comma negative 2, passes through the origin, and the point labeled 1 comma 2.
  3. p -2 -1 0 1 2 3
    q 4 2 0 -2 -4 -6

7.2 Comparemos temperaturas

La gráfica muestra la temperatura entre el mediodía y la medianoche en la ciudad A en cierto día.

La tabla muestra la temperatura  T  en grados Fahrenheit, en la ciudad B,  h horas después del mediodía.

h 1 2 3 4 5 6
T 82 78 75 62 58 59
  1. ¿Cuál ciudad era más cálida a las 4:00 p.m.?
  2. ¿Cuál ciudad tuvo un mayor cambio de temperatura entre la 1:00 p.m. y las 5:00 p.m.?
  3. ¿Cuánto más alta fue la mayor temperatura registrada en la ciudad B que la mayor temperatura registrada en la ciudad A durante este tiempo?
  4. Compara las salidas de las funciones si la entrada es 3.

7.3 Comparemos volúmenes

El volumen  V  de un cubo con arista de longitud s cm está dado por la ecuación V = s^3 . Se muestra la gráfica del volumen de una esfera como una función de su radio.

  1. ¿El volumen de un cubo con arista de longitud s=3 es mayor o menor que el de una esfera de radio 3?

  2. Si una esfera tiene el mismo volumen que un cubo con arista de longitud 5, estima el radio de la esfera.

  3. Compara las salidas de las dos funciones de volumen si la entrada de cada una es 2.

Si lo deseas, puedes usar este applet. Nota: si quieres obtener la gráfica de una ecuación con este applet, debes ingresar  y como una función de x , así que debes usar y en lugar de  V y  x en lugar de  s .

abrir en modo presentación
 

¿Estás listo para más?

Estima la longitud de arista de un cubo que tiene el mismo volumen que una esfera de radio 2.5.

7.4 No es una carrera

La familia de Elena viaja por la autopista a 55 millas por hora.

La familia de Andre viaja por la misma autopista, pero no a una rapidez constante. La tabla muestra lo que ha recorrido la familia de Andre, d , en millas, cada minuto, durante 10 minutos.

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
d 0.9 1.9 3.0 4.1 5.1 6.2 6.8 7.4 8 9.1
  1. ¿Cuántas millas por minuto son 55 millas por hora?
  2. ¿Quién ha recorrido una distancia más grande después de 5 minutos?, ¿después de 10 minutos?
  3. ¿Cuánto tardó la familia de Elena en recorrer una distancia tan grande como la que recorrió la familia de Andre después de 8 minutos?
  4. Para ambas familias, la distancia en millas es una función del tiempo en minutos. Compara las salidas de estas funciones si la entrada es 3.

Resumen de la lección 7

Las funciones consisten en obtener salidas a partir de entradas. Con cualquier representación de una función (ecuación, gráfica, tabla o descripción verbal), podemos hallar la salida correspondiente a una entrada dada.

Digamos que tenemos una función representada por la ecuación y = 3x +2 , donde y es la variable dependiente y  x es la independiente. Si quisiéramos encontrar la salida asociada a 2, podríamos ingresar 2 en lugar de la x en la ecuación y encontrar el valor correspondiente de y . En este caso, si  x es 2, y es 8, porque  3\boldcdot 2 + 2=8 .

Si ahora tenemos una gráfica de esta función, las coordenadas de los puntos en la gráfica son las parejas de entrada y salida. Entonces, veríamos en la gráfica la coordenada  y del punto que corresponde a un valor de 2 para  x . Al observar la gráfica de esta función, podemos ver el punto (2,8) , así, la salida es 8 cuando la entrada es 2.

he graph of a line in the coordinate plane with the origin labeled “O”. The horizontal axis has the numbers negative 1 through 2 indicated and there are vertical gridlines between each integer. The vertical axis has the numbers negative 2 through 8, in increments of 2, indicated, and there are horizontal grid lines in between each integer. The line begins to the right of the y axis and below the x axis. It slants upward and to the right passing through the point with coordinates negative 1 comma negative 1, crosses the y axis at 2, and passes through the indicated point labeled 2 comma 8.

Una tabla que representa esta función muestra directamente las parejas de entrada y salida (aunque solo para entradas seleccionadas).

x -1 0 1 2 3
y -1 2 5 8 11

Nuevamente, la tabla muestra que si la entrada es 2, la salida es 8.

Problemas de práctica de la lección 7

  1. La ecuación y la tabla representan dos funciones diferentes. Usa la ecuación b=4a-5 y la tabla para responder las preguntas. Esta tabla representa c como una función de a . 

    a -3 0 2 5 10 12
    c -20 7 3 21 19 45
    1. Si a es -3, ¿es mayor b o  c ?
    2. Si c es 21, ¿cuál es el valor de a ? ¿cuál es el valor de b  que corresponde a este valor de a ?
    3. Si a es 6, ¿es mayor b o  c ?
    4. ¿Para cuáles valores de a sabemos que c es mayor que b ?

  2. Empareja cada regla de función con el valor que no podría ser una entrada posible para esa función.

    1. Se divide 3 entre la entrada
    2. Se suma 4 a la entrada, luego se divide 3 entre este valor
    3. Se resta 3 de la entrada, luego se divide 1 entre este valor
    1. 3
    2. 4
    3. -4
    4. 0
    5. 1

  3. Elena y Lin entrenan para una carrera. Elena corre su milla a una rapidez constante de 7.5 millas por hora.

    Los tiempos de Lin se registran cada minuto:

    tiempo (minutos) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    distancia (millas) 0.11 0.21 0.32 0.41 0.53 0.62 0.73 0.85 1

    1. ¿Quién terminó primero su milla?

    2. Esta es una gráfica del progreso de Lin. En los mismos ejes, dibuja una gráfica para representar el avance de Elena.

      A scatterplot in a coordinate plane with the origin labeled “O.” The horizontal axis is labeled “time in minutes” and the numbers 1 through 12 are indicated. The vertical axis is labeled “distance in miles,” and the number 1 is indicated. The graph shows the trend of the data points moving approximately linearly upward and to the right. The coordinates of the points are as follows: 1 comma 0 point 11, 2 comma 0 point 2 1, 3 comma 0 point 3 2, 4 comma 0 point 4 1, 5 comma 0 point 5 3, 6 comma 0 point 6 2, 7 comma 0 point 7 3, 8 comma 0 point 8 5, 9 comma 1.

    3. Para estos modelos, ¿es la distancia una función del tiempo? ¿es el tiempo una función de la distancia? Explica cómo lo sabes.

  4. Encuentra un valor de x que haga que la ecuación sea verdadera: \text-(\text-2x+1)= 9-14x Explica tu razonamiento, y comprueba que tu respuesta es correcta.