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Lección 1Las áreas de los cuadrados y sus longitudes de lado

Investiguemos los cuadrados y sus longitudes de lado.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo encontrar el área de un cuadrado inclinado, puesto en una cuadrícula, usando métodos como "descomponer y reorganizar" y "encerrar y restar".
  • Puedo encontrar el área de un triángulo.

1.1 Dos regiones

¿Qué región sombreada es más grande? Explica tu razonamiento.

Two quadrilaterals, labeled “A” and “B,” on square grids. Both quadrilaterals are not aligned to the horizontal or vertical gridlines. Quadrilateral “A” is on a grid that has 2 rows of 4 squares. The quadrilateral is drawn starting at the left most vertex. The second vertex is 2 squares to the right and 1 square up from the first vertex. The third vertex is 2 squares to the right and 1 square down from the second vertex. The fourth vertex is 2 squares to the left and 1 square down from the third vertex. The first vertex is 2 squares to the left and 1 square up from the fourth vertex. Quadrilateral “B” is on a grid that has 3 rows of 3 squares. The quadrilateral is drawn starting at the left most vertex. The second vertex is 1 square to the right and 2 squares up from the first vertex. The third vertex is 2 squares to the right and 1 square down from the second vertex. The fourth vertex is 1 square to the left and 2 squares down from the third vertex. The first vertex is 2 squares to the left and 1 square up from the fourth vertex.

1.2 Descompongamos para encontrar el área

Encuentra el área de cada cuadrado sombreado (en unidades cuadradas). 




¿Estás listo para más?

Cualquier triángulo con una base de 13 y una altura de 5 tiene un área de \frac{65}{2} .

Ambas figuras en la imagen se han dividido en las mismas cuatro partes. Encuentra el área de cada una de las partes y verifica que las partes correspondientes sean las mismas en cada imagen. Parece que en la figura de la derecha hay una unidad más de área que en la figura de la izquierda. Si todas las partes tienen la misma área, ¿cómo es esto posible?

1.3 Estimemos las longitudes de los lados a partir de las áreas

  1. ¿Cuál es la longitud de lado del cuadrado A?, ¿cuál es su área?
  2. ¿Cuál es la longitud de lado del cuadrado C?, ¿cuál es su área?
  3. ¿Cuál es el área del cuadrado B?, ¿cuál es su longitud de lado? (Usa papel de calcar para verificar tu respuesta).

  4. Encuentra las áreas de los cuadrados D, E y F. ¿Cuál de estos cuadrados debe tener una longitud de lado mayor que 5 pero menor que 6? Explica cómo lo sabes.

1.4 Hagamos cuadrados

Usa el applet para determinar el área total de las cinco figuras, D , E , F , G , y  H . Puedes suponer que cada cuadrado pequeño es igual a 1 unidad cuadrada.    

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Resumen de la lección 1

El área de un cuadrado con longitud de lado de 12 unidades es 12^2  o 144 unidades2. 

La longitud de lado de un cuadrado con un área de 900 unidades2 es 30 unidades porque  30^2 = 900 . 

A veces queremos encontrar el área de un cuadrado, pero no sabemos su longitud de lado. Por ejemplo, ¿cómo podemos encontrar el área del cuadrado ABCD ?

Una forma es encerrarlo en un cuadrado cuyas longitudes de lado conozcamos.

El cuadrado exterior EFGH tiene longitudes de lado de 11 unidades, por lo que su área es de 121 unidades2. El área de cada uno de los cuatro triángulos es \frac12 \boldcdot 8 \boldcdot 3 = 12 , y entonces el área de los cuatro juntos es 4 \boldcdot 12 = 48 unidades2. Para obtener el área del cuadrado sombreado, podemos tomar el área del cuadrado exterior y restar las áreas de los 4 triángulos. Entonces, el área del cuadrado sombreado ABCD  es 121 - 48 = 73  o 73 unidades2.

Problemas de práctica de la lección 1

  1. Encuentra el área de cada cuadrado. Cada cuadrado de la cuadrícula representa 1 unidad cuadrada. 

  2. Encuentra la longitud de lado de un cuadrado si su área es: 

    1. 81 pulgadas cuadradas
    2. \frac{4}{25} cm2
    3. 0.49 unidades cuadradas
    4. m^2 unidades cuadradas

  3. Encuentra el área de un cuadrado si la longitud de lado es:

    1. 3 pulgadas
    2. 7 unidades
    3. 100 cm
    4. 40 pulgadas
    5. x unidades

  4. Resuelve (3.1 \times 10^4) \boldcdot (2 \times 10^6) . Escoge la respuesta correcta:

    1. 5.1 \times 10^{10}
    2. 5.1 \times 10^{24}
    3. 6.2 \times 10^{10}
    4. 6.2 \times 10^{24}

  5. Noah lee el problema, "Evalúa cada expresión, dando la respuesta en notación científica". La primera parte del problema es: 5.4 \times 10^5 + 2.3 \times 10^4 . Noah dice, "Yo puedo reescribir 5.4 \times 10^5 como 54 \times 10^4 . Ahora puedo sumar los números: 54 \times 10^4 + 2.3 \times 10^4 = 57.3 \times 10^4 ". ¿Estás de acuerdo con la solución de Noah del problema? Explica tu razonamiento.

  6. Selecciona todas las expresiones que sean equivalentes a 3^8 .

    1. (3^2)^4
    2. 8^3
    3. 3 \boldcdot 3 \boldcdot 3 \boldcdot 3 \boldcdot 3 \boldcdot 3 \boldcdot 3 \boldcdot 3
    4. (3^4)^2
    5. \frac{3^6}{3^{\text-2}}
    6. 3^6 \boldcdot 10^2