Open Up Resources Logo

Lección 2Longitudes de lado y áreas

Investiguemos algunos cuadrados más.

Metas de aprendizaje:

  • Comprendo el significado de expresiones como \sqrt{25} y \sqrt{3} .
  • Puedo explicar qué es una raíz cuadrada.
  • Si conozco el área de un cuadrado, puedo expresar su longitud de lado utilizando la notación de la raíz cuadrada.

2.1 Observa y pregúntate: círculos que se intersecan

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

2.2 Un cuadrado

  1. Utiliza el círculo para estimar el área del cuadrado que se muestra a continuación:

    A coordinate plane with the origin labeled “O.” The x-axis has the numbers negative 6 through 6 indicated with tick marks. The y-axis has the numbers negative 6 through 7 indicated with tick marks. A square and a circle are drawn on the grid so that the circle’s circumference passes through 2 of the squares vertices. The circle’s center is the origin and it’s circumference is indicated by a dashed line that passes through the following approximate points on the axes: Negative 5 point 3 comma 0, 0 comma 5 point 3, 5 point 3 comma 0, and 0 comma negative 5 point 3. The square is tilted so that all its sides are diagonal to the coordinate grid. It has vertices at: 0 comma 0, negative 2 comma 5, 3 comma 7, and 5 comma 2. The circumference of the circle passes through the square’s vertices at negative 2 comma 5 and 5 comma 2 so that the sides of the square, extending from the origin to those 2 vertices, are within the circle. @Kia Johnson I didn't want to say that the sides of the square were the radius felt like taking away some of the cognitive demand) but felt a little wordy. REPLY 11:44 (Fixed some language, now that I am writing for same image on grid): A coordinate plane with the origin labeled “O.” The x-axis has the numbers negative 6 through 6 indicated with tick marks. The y-axis has the numbers negative 6 through 7 indicated with tick marks. A square and a circle are drawn on the plane so that the circle’s circumference passes through 2 of the squares vertices. The circle’s center is the origin and it’s circumference is indicated by a dashed line that passes through the following approximate points on the axes: Negative 5 point 3 comma 0, 0 comma 5 point 3, 5 point 3 comma 0, and 0 comma negative 5 point 3. The square is tilted so that all its sides are diagonal to the coordinate grid. It has vertices at: 0 comma 0, negative 2 comma 5, 3 comma 7, and 5 comma 2. The circumference of the circle passes through the square’s vertices at negative 2 comma 5 and 5 comma 2 so that the sides of the square, extending from the origin to those 2 vertices, are within the circle.

  2. Utiliza la cuadrícula para verificar tu respuesta al primer problema.

    A coordinate grid with the origin labeled “O.” The x-axis has the numbers negative 6 through 6 indicated with gridlines. The y-axis has the numbers negative 6 through 7 indicated with gridlines. A square and a circle are drawn on the grid so that the circle’s circumference passes through 2 of the squares vertices. The circle’s center is the origin and it’s circumference is indicated by a dashed line that passes through the following approximate points on the axes: Negative 5 point 3 comma 0, 0 comma 5 point 3, 5 point 3 comma 0, and 0 comma negative 5 point 3. The square is tilted so that all its sides are diagonal to the coordinate grid. It has vertices at: 0 comma 0, negative 2 comma 5, 3 comma 7, and 5 comma 2. The circumference of the circle passes through the square’s vertices at negative 2 comma 5 and 5 comma 2 so that the sides of the square, extending from the origin to those 2 vertices, are within the circle.

¿Estás listo para más?

Un vértice del triángulo equilátero está en el centro del cuadrado y un vértice del cuadrado está en el centro del triángulo equilátero. ¿Cuánto vale x ?

2.3 Los lados y las áreas de cuadrados inclinados

  1. Encuentra el área de cada cuadrado y estima las longitudes de lado usando tu caja de herramientas de geometría. Luego escribe las longitudes de lado exactas de cada cuadrado.

  2. Completa las tablas con las longitudes de lado y las áreas que faltan.
    longitud de lado,  s 0.5 1.5 2.5 3.5
    área, a 1  4  9  16
    longitud de lado,  s 4.5 5.5 6.5 7.5
    área, a 25 36 49 64

  3. Ubica los puntos, (s, a) , en el plano de coordenadas que se muestra a continuación. 

  4. Utiliza esta gráfica para estimar las longitudes de lado de los cuadrados de la primera pregunta. ¿Qué tan lejanas o cercanas fueron las estimaciones que realizaste usando la gráfica y las estimaciones que realizaste inicialmente con la caja de herramientas de geometría?      

  5. Utiliza la gráfica para aproximar  \sqrt{45} . 

Resumen de la lección 2

Vimos antes que el área del cuadrado ABCD es 73 unidades2.    

¿Cuál es la longitud de lado? El área está entre 8^2 = 64  y 9^2 = 81 , por lo que la longitud de lado debe estar entre 8 unidades y 9 unidades. También podemos usar papel de calcar para trazar la longitud de lado y compararla con la cuadrícula, lo que también muestra que la longitud de lado esta entre 8 y 9 unidades. Pero, nos queremos poder referir a la longitud exacta. Para escribir "la longitud de lado de un cuadrado cuya área es de 73 unidades cuadradas", usamos el símbolo de la raíz cuadrada. "La raíz cuadrada de 73" se escribe \sqrt{73}  y significa "la longitud de lado de un cuadrado cuya área es de 73 unidades cuadradas".

Decimos que la longitud de lado de un cuadrado con un área de 73 unidades2 es de \sqrt{73}  unidades. Esto significa que:

\left( \sqrt{73}\right)^2 = 73

Todas las siguientes afirmaciones también son verdaderas:

\sqrt{9}=3 porque  3^2=9

\sqrt{16}=4 porque  4^2=16

\sqrt{10} unidades es la longitud de lado de un cuadrado cuya área es 10 unidades2 y  \left(\sqrt{10}\right)^2=10

There are 3 squares on a square grid, arranged in order of area, from smallest, on the left, to largest, on the right. The left most square is aligned to the grid and has side lengths of 3 with an area of 9. The middle square is tilted on the grid so that its sides are diagonal to the grid. The square is labeled with a side length of square root of 10 and an area of 10. The right most square is aligned to the grid and has side lengths of 4 with an area of 16.

Términos del glosario

raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número positivo n es el número positivo que al ser elevado al cuadrado da n . También es la longitud de lado de un cuadrado de área n . Escribimos la raíz cuadrada de n como  \sqrt{n} .

Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16, que se escribe como  \sqrt{16} , es 4 pues 4^2 es 16. \sqrt{16} también es la longitud de lado de un cuadrado que tiene un área de 16.

Problemas de práctica de la lección 2

  1. Un cuadrado tiene un área de 81 pies cuadrados. Selecciona todas las expresiones que sean iguales a la longitud de lado de este cuadrado, en pies.

    1. \frac{81}{2}

    2. \sqrt{81}

    3. 9

    4. \sqrt{9}

    5. 3

  2. Escribe el valor exacto de la longitud de lado, en unidades, de un cuadrado cuya área en unidades cuadradas es:

    1. 36
    2. 37
    3. \frac{100}{9}
    4. \frac25
    5. 0.0001
    6. 0.11

  3. El cuadrado A es más pequeño que el cuadrado B. El cuadrado B es más pequeño que el cuadrado C.

    There are 3 differently sized squares labeled, from left to right, “A,” “B” and “C.” The squares are arranged from smallest to largest, so that “A” is the smallest square and “C” is the largest.

    Las longitudes de los lados de los tres cuadrados son  \sqrt{26} , 4.2 y  \sqrt{11} .

    ¿Cuál es la longitud de lado del cuadrado A, del cuadrado B y del cuadrado C? Explica cómo lo sabes.

  4. Encuentra el área de un cuadrado si su longitud de lado es: 

    1. \frac15 cm
    2. \frac37 unidades
    3. \frac{11}{8} pulgadas
    4. 0.1 metros
    5. 3.5 cm

  5. Esta es una tabla que muestra las áreas de los siete países más grandes.

    1. ¿Cuántas personas más viven en Rusia que en Canadá?
    2. Los países asiáticos de esta lista son Rusia, China e India. Los países americanos son Canadá, los Estados Unidos y Brasil. ¿Cuáles tienen la mayor área total: los tres países asiáticos o los tres países americanos?
    país área (en km2)
    Rusia 1.71 \times 10^7
    Canadá 9.98 \times 10^6
    China 9.60 \times 10^6
    Estados Unidos 9.53 \times 10^6
    Brasil 8.52 \times 10^6
    Australia 6.79 \times 10^6
    India 3.29 \times 10^6

  6. Selecciona todas las expresiones que sean equivalentes a 10^{\text-6} .

    1. \frac{1}{1000000}
    2. \frac{\text-1}{1000000}
    3. \frac{1}{10^6}
    4. 10^{8} \boldcdot 10^{\text-2}
    5. \left(\frac{1}{10}\right)^6
    6. \frac{1}{10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10}