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Lección 13Raíces cúbicas

Comparemos raíces cúbicas.

Metas de aprendizaje:

  • Cuando tengo una raíz cúbica, puedo razonar sobre entre cuáles dos números enteros está.

13.1 Verdadero o falso: al cubo

Determina si cada expresión es verdadera o falsa.

\left( \sqrt[3]{5} \right)^3=5

\left(\sqrt[3]{27}\right)^3 = 3  

7 = \left(\sqrt[3]{7}\right)^3

\left(\sqrt[3]{10}\right)^3 = 1,\!000  

\left(\sqrt[3]{64}\right) = 2^3  

13.2 Valores de raíces cúbicas

¿Entre cuáles dos números enteros se encuentra cada raíz cúbica? Prepárate para explicar tu razonamiento.

  1. \sqrt[3]{5}
  2. \sqrt[3]{23}
  3. \sqrt[3]{81}
  4. \sqrt[3]{999}

13.3 Soluciones en una recta numérica

Los números x , y y  z son positivos y:

x^3= 5

y^3= 27

z^3= 700

  1. Ubica  x ,  y y  z en la recta numérica. Prepárate para compartir tu razonamiento con la clase.
  2. Ubica  \text- \sqrt[3]{2} en la recta numérica.

¿Estás listo para más?

Diego sabe que 8^2=64 y que 4^3=64 . Él dice que esto significa que las siguientes expresiones son todas verdaderas:

  • \sqrt{64}=8
  • \sqrt[3]{64}=4
  • \sqrt{\text -64}=\text-8
  • \sqrt[3]{\text -64}=\text -4
¿Tiene razón? Explica cómo lo sabes.

Resumen de la lección 13

Recuerda que las raíces cuadradas de los números enteros se definen como las longitudes de lado de los cuadrados. Por ejemplo,  \sqrt{17} es la longitud de lado de un cuadrado que tiene un área de 17. Definimos las raíces cúbicas de forma similar, pero usando cubos en lugar de cuadrados. El número  \sqrt[3]{17} , que se pronuncia "la raíz cúbica de 17", es la longitud de lado de un cubo que tiene un volumen de 17.

Podemos aproximar los valores de las raíces cúbicas observando los números enteros que están cerca y recordando la relación que hay entre las raíces cúbicas y los cubos. Por ejemplo,  \sqrt[3]{20} está entre 2 y 3 porque  2^3=8 y  3^3=27 , y 20 está entre 8 y 27. De manera similar, como 100 está entre  4^3 y 5^3 , sabemos que \sqrt[3]{100} está entre 4 y 5. Muchas calculadoras tienen una función de raíz cúbica y se pueden utilizar para aproximar el valor de una raíz cúbica de forma más precisa. Para nuestros números de antes, una calculadora nos mostrará que  \sqrt[3]{20} \approx 2.7144 y que \sqrt[3]{100} \approx 4.6416 .

Al igual que las raíces cuadradas, la mayoría de las raíces cúbicas de números enteros son irracionales. La raíz cúbica de un número es un número entero únicamente cuando el número original es un cubo perfecto.

Problemas de práctica de la lección 13

  1. Halla la solución positiva de cada ecuación. Si la solución es irracional, escribe la solución utilizando la notación de raíz cuadrada o de raíz cúbica.

    1. t^3=216

    2. a^2=15

    3. m^3=8

    4. c^3=343

    5. f^3=181

  2. Para cada raíz cúbica, halla los dos números enteros entre los que se encuentra.

    1. \sqrt[3]{11}
    2. \sqrt[3]{80}
    3. \sqrt[3]{120}
    4. \sqrt[3]{250}
  3. Ordena los siguientes valores de menor a mayor:  \sqrt[3]{530},\;\sqrt{48},\;\pi,\;\sqrt{121},\;\sqrt[3]{27},\;\frac{19}{2}

  4. Halla el valor de cada variable, aproximándolo a la décima más cercana.

    1. A right triangle. The two sides that form the right angle are a vertical side labeled "x" and a horizontal side labeled "2.5." The side opposite the right angle is labeled 7.5.
    2. A right triangle. Two sides that form the right angle are a horizontal side labled 7 and a vertical side labeled "f." The side opposite the right angle is labeled the square root of 78.
    3. A triangle has a horizontal side labeled "d." The other two sides of the triangle are each labeled 11. A vertical dashed line extends from the vertex above the horizontal side to the horizontal side and is labeled 8. A right angle symbol is indicated between the vertical dashed line and the horizontal side.

  5. Una manzana estándar en la ciudad de Manhattan es un rectángulo que mide 80 m por 270 m. Una residente quiere ir desde una esquina hasta la esquina opuesta de una manzana que contiene un parque. Ella se pregunta cuál será la diferencia entre tomar un atajo e ir por la diagonal a través del parque en comparación con ir alrededor del parque, por las calles. ¿Qué tanto más corto será su recorrido si atraviesa el parque? Redondea tu respuesta al metro más cercano.