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Lección 6Encontremos las longitudes de los lados de triángulos

Encontremos las longitudes de los lados de triángulos.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo explicar lo que dice el teorema de Pitágoras.

6.1 Cuál es diferente: triángulos

¿Cuál triángulo es diferente?

6.2 Una tabla de triángulos

  1. Completa la tablas para estos tres triángulos:

    Three triangles on a square grid labeled “D,” “E,” and “F” with sides a, b, and c. The triangles have the following measurements: Triangle D: Horizontal side a is 2 units. Side b slants upward and to the left. Side c slants downward and to the right. The height of the triangle is 1. Triangle E: Horizontal side a is 2 units. Vertical side b is 1 unit. Diagonal side c slants downward and to the right and the triangle has a height of 1 unit. Triangle F: Horizontal side a is 2 units. Side b and side c are equal in length. The triangle has a height of 2 units.
    triángulo a   b   c  
    D
    E
    F
    triángulo a^2 b^2 c^2
    D
    E
    F
  2. ¿Qué observas sobre los valores de la tabla para el triángulo E que no observas para los triángulos D y F?
  3. Completa las tablas para estos tres triángulos más:
    Three triangles on a grid labeled “P,” “Q,” and “R” with sides a, b, and c. The triangles have the following measurements: Triangle P: Side a is 2 units. Side b slants upwards and to the left. Side c slants downward and to the right. The height of the triangle is 2. Triangle Q: Horizontal side a is 2 units. Vertical side b is 3 units. Diagonal side c slants downward and to the right and the triangle has a height of 3 units. Triangle R: Horizontal side a is 2 units. Side b and side c are equal in length. The triangle has a height of 3 units.
    triángulo a   b   c  
    P
    Q
    R
    triángulo a^2 b^2 c^2
    P
    Q
    R
  4. ¿Qué observas acerca de los valores de la tabla para el triángulo Q que no observas para los triángulos P y R?
  5. ¿Qué tienen en común el triángulo E y el triángulo Q?

6.3 Conozcamos el teorema de Pitágoras

  1. Encuentren las longitudes de los lados que faltan. Prepárense para explicar su razonamiento. 
  2. ¿Para cuáles triángulos  a^2+b^2=c^2 ?

 

 

¿Estás listo para más?

Si los cuatro triángulos sombreados en la figura son triángulos rectángulos congruentes, ¿el cuadrilátero interno tiene que ser un cuadrado? Explica cómo lo sabes.

A square with side lengths of 14 units on a square grid. there is a second square inside the square. Each of the vertices of the inside square divides the side lengths of the large square into two lengths: 8 units and 6 units creating 4 right triangles.

Resumen de la lección 6

Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. Estos son algunos triángulos rectángulos que tienen marcados la hipotenusa y los catetos: 

Four right triangles of different sizes and orientations each with two legs and a hypotenuse opposite the right angle.

A menudo usamos las letras a  y b  para representar las longitudes de los lados más cortos de un triángulo y c  para representar la longitud del lado más largo de un triángulo rectángulo. Si el triángulo es un triángulo rectángulo, entonces a  y b  se usan para representar las longitudes de los catetos y c  se usa para representar la longitud de la hipotenusa (porque la hipotenusa es siempre el lado más largo de un triángulo rectángulo). Por ejemplo, en este triángulo rectángulo, a=\sqrt{20} , b=\sqrt5  y  c=5 .

A right triangle with legs labeled “a” and “b.” The hypotenuse is labeled “c.”

Estos son algunos triángulos rectángulos: 

Three right triangles are indicated. A square is drawn using each side of the triangles. The triangle on the left has the square labels “a squared equals 16” and “b squared equals 9” attached to each of the legs. The square labeled “c squared equals 25” is attached to the hypotenuse. The triangle in the middle has the square labels “a squared equals 16” and “b squared equals 1” attached to each of the legs. The square labeled “c squared equals 17” is attached to the hypotenuse. The triangle on the right has the square labels “a squared equals 9” and “b squared equals 9” attached to each of the legs. The square labeled “c squared equals 18” is attached to the hypotenuse.

Observa que en estos ejemplos de triángulos rectángulos, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. En el primer triángulo rectángulo del diagrama, 9+16=25 , en el segundo, 1+16=17 , y en el tercero, 9+9=18 . Expresado de otra manera, tenemos  a^2+b^2=c^2  Esta es una propiedad de todos los triángulos rectángulos, no solo de estos ejemplos, y a menudo se conoce como el teorema de Pitágoras. El nombre proviene de un matemático llamado Pitágoras que vivió en la antigua Grecia hace aproximadamente 2,500 años, es decir en el siglo V a. C., pero esta propiedad de los triángulos rectángulos también fue descubierta de manera independiente por matemáticos en otras culturas antiguas como Babilonia, India y China. En China, un nombre para la misma relación es el teorema de Shang Gao. En lecciones futuras, los estudiantes aprenderán algunas maneras de explicar por qué el teorema de Pitágoras es verdadero para cualquier triángulo rectángulo.

Es importante tener en cuenta que esta relación no es válida para todos los triángulos. Estos son algunos triángulos que no son triángulos rectángulos, observa que las longitudes de sus lados no tienen la relación especial a^2+b^2=c^2 . Es decir, 16+10  no es igual a 18 y 2+10  no es igual a 16.

Two right triangles are indicated. A square is drawn using each side of the triangles. The triangle on the left has the square labels “a squared equals 16” aligned to the bottom horizontal leg and “b squared equals 10” aligned to the left leg. The square labeled “c squared equals 18 is aligned with the hypotenuse. The triangle on the right has the square labels of “a squared equals 10” aligned with the bottom leg and “b squared equals 2” aligned with the left leg. The square labeled “c squared equals 16” is aligned with the hypotenuse.

Términos del glosario

cateto

Los catetos de un triángulo rectángulo son los lados que forman el ángulo recto.

Estos son algunos triángulos rectángulos. Cada cateto está etiquetado.

hipotenusa

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el lado que está opuesto al ángulo recto. Es el lado más largo del triángulo rectángulo.

Estos son algunos triángulos rectángulos. Cada hipotenusa está etiquetada.

teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras describe la relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

Es diagrama muestra un triángulo rectángulo con cuadrados construidos en cada lado. Si sumamos las áreas de los dos cuadrados más pequeños, obtenemos el área del cuadrado grande.

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esto se escribe como  a^2 + b^2=c^2 .

Problemas de práctica de la lección 6

  1. A continuación se presenta un diagrama de un triángulo acutángulo y tres cuadrados.

    An acute triangle with squares along each side of the triangle. Each square has sides equal to the length of the side of the triangle it touches. The square on the bottom is touching the shortest side and is labeled 9. The square on the top right is touching the next longest side and is labeled 17. The square on the top left is touching the longest side and is unlabeled.

    Priya dice que el área del cuadrado grande sin marcar es de 26 unidades cuadradas porque  9+17=26 . ¿Estás de acuerdo? Explica tu razonamiento. 

  2. m , p y  z representan las longitudes de los tres lados de este triángulo rectángulo. 

    Selecciona todas las ecuaciones que representan la relación entre m , p y  z .

    1. m^2+p^2=z^2
    2. m^2=p^2+z^2
    3. m^2=z^2+p^2
    4. p^2+m^2=z^2
    5. z^2+p^2=m^2
    6. p^2+z^2=m^2

  3. Estas son las longitudes de los tres lados de varios triángulos rectángulos. Para cada uno, escribe una ecuación que exprese la relación entre las longitudes de los tres lados. 

    1. 10, 6, 8
    2. \sqrt5, \sqrt3, \sqrt8
    3. 5, \sqrt5, \sqrt{30}
    4. 1, \sqrt{37} , 6
    5. 3, \sqrt{2}, \sqrt7

  4. Ordena las siguientes expresiones de menor a mayor.

    25\div 10

    250,\!000 \div 1,\!000

    2.5 \div 1,\!000

    0.025\div 1

  5. ¿Cuál es la mejor explicación de por qué \text-\sqrt{10} es irracional?

    1. \text- \sqrt{10} es irracional porque no es racional. 

    2. \text- \sqrt{10} es irracional porque es menor que cero.

    3. \text- \sqrt{10} es irracional porque no es un número entero.

    4. \text- \sqrt{10} es irracional porque si pongo \text- \sqrt{10} en una calculadora, obtengo -3.16227766, lo cual no tiene un patrón de repetición. 

  6. Una profesora les dice a sus estudiantes que ella tiene apenas más de 1 y \frac{1}{2} billones de segundos de edad.

    1. Escribe su edad en segundos usando notación científica.
    2. ¿Cuál es una unidad de medida más razonable para esta situación?
    3. ¿Cuál es su edad cuando usas una unidad de medida más razonable?