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Lección 9El recíproco

Determinemos si un triángulo es un triángulo rectángulo.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo explicar por qué es cierto que si las longitudes de un triángulo satisfacen la ecuación a^2+b^2=c^2 entonces debe ser un triángulo rectángulo.
  • Si conozco las longitudes de los lados de un triángulo, puedo determinar si es un triángulo rectángulo o no.

9.1 Las manecillas de un reloj

Considera las puntas de las manecillas de un reloj analógico en el que la manecilla que indica las horas mide 3 centímetros de largo y la manecilla que indica los minutos mide 4 centímetros de largo.

The image of a circle that represent an analog clock. On the circle are 12 evenly spaced tick marks. There are two hands on the clock. One hand is labeled 3, begins in the center of the circle and extends upward and to the right, and points to the third tick mark from the top. The other hand is labeled 4, begins in the center of the circle and extends upward and to the left. It points to the eleventh tick mark from the top.

En el transcurso de un día:

  1. ¿Qué es lo más lejos que pueden estar las dos puntas de las manecillas?

  2. ¿Qué es lo más cerca que pueden estar las dos puntas de las manecillas?

  3. ¿En algún momento las dos puntas están a exactamente cinco centímetros de distancia?

9.2 Demostremos el recíproco

Estos son tres triángulos que tienen dos lados que miden 3 y 4 unidades y su tercer lado tiene una longitud desconocida.

A figure of three triangles each with 2 given side lengths and one unknown side length. The first triangle has a horizontal side of 4, a side length slanted upward and to the left of 3, and the third side length labeled x. The middle triangle has a horizontal side length of 4, a second side length slanted upward and to the right of 3, and the third side length labeled y. The third triangle is a right triangle with a horizontal side length of 4, a vertical side length of 3, and the third side is labeled z.

Ordena los siguientes seis números de menor a mayor. Pon un signo igual entre cualesquiera que sepas que son iguales. Prepárate para explicar tu razonamiento.

1\qquad 5\qquad 7\qquad x\qquad y\qquad z

¿Estás listo para más?

Un argumento similar también nos permite distinguir a los triángulos acutángulos de los triángulos obtusángulos utilizando únicamente las longitudes de sus lados.

Determina si los triángulos que tienen las siguientes longitudes de lados son acutángulos, rectángulos u obtusángulos. Para los triángulos obstusángulo y rectángulo identifica cuál es el lado opuesto al ángulo recto o al obtuso.

  • a=15 , b=20 , c=8
  • a=8 , b=15 , c=13
  • a=17 , b=8 , c=15

9.3 Calculemos los catetos de algunos triángulos rectángulos

  1. Con la información dada para los tríangulos rectángulos en esta imagen, halla las longitudes de los catetos desconocidas aproximándolas a la décima más cercana.
    Two right triangles are indicated. The triangle on the left has two leg with lengths of 2 and a. The hypotenuse has a length of 7. The triangle on the right has two legs with length x and a hypotenuse of length 4.
  2. El siguiente triángulo no es un triángulo rectángulo. ¿De cuáles dos formas diferentes podrías cambiar uno de los valores para que sea un triángulo rectángulo? Dibuja estos triángulos rectángulos nuevos y marca claramente el ángulo recto.
    A triangle with side lengths of 4, 6, and 7.

Resumen de la lección 9

¿Qué tal que no sea claro si un triángulo es un triángulo rectángulo o no? Mira este triángulo:

A triangle with side lengths labeled 15, 17 and 8.

¿Es un triángulo rectángulo? Es difícil determinarlo si solo lo miramos y es posible que los lados no estén dibujados a escala.

Supongamos que tenemos un triángulo con lados de longitudes a , b y c , y c es el lado más largo. El recíproco del teorema de Pitágoras nos dice que si a^2+b^2=c^2 , entonces el triángulo debe ser un triángulo rectángulo. Por ejemplo, como  8^2+15^2=64+225=289=17^2 , cualquier triángulo que tenga lados de longitudes 8, 15 y 17 tiene que ser un triángulo rectángulo.

Juntos, el teorema de Pitágoras y su recíproco proporcionan una forma de comprobar con un solo paso si un triángulo es un triángulo rectángulo utilizando únicamente las longitudes de sus lados. Si  a^2+b^2=c^2 , entonces es un triángulo rectángulo. Si  a^2+b^2\neq c^2 , entonces no es un triángulo rectángulo.

Problemas de práctica de la lección 9

  1. ¿Cuáles de estos triángulos definitivamente son triángulos rectángulos? Explica cómo lo sabes. (Ten en cuenta que no todos los triángulos están dibujados a escala).

  2. Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 15 cm. ¿Cuáles son algunas longitudes posibles para los dos catetos del triángulo? Explica tu razonamiento.

    A right triangle with a hypotenuse of 15 cm. The other two legs are unlabeled.

  3. En cada parte, a y b representan la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo y c representa la longitud de su hipotenusa. Halla la longitud desconocida, dadas las otras dos longitudes.

    1. a=12, b=5, c={?}
    2. a={?}, b=21, c=29

  4. Para cuáles triángulos el teorema de Pitágoras expresa la relación entre las longitudes de sus tres lados? 

  5. Andre hace un viaje a México. Él cambia algunos dólares por pesos a una tasa de 20 pesos por cada dólar. Mientras está en México, él gasta 9000 pesos. Cuando regresa, cambia sus pesos por dólares (aún a 20 pesos por cada dólar). Él obtiene  \frac{1}{10} de la cantidad con la que inició. Encuentra cuántos dólares cambió Andre por pesos y explica tu razonamiento. Si tienes dificultad, intenta escribir una ecuación que represente el viaje de Andre, usando una variable para el número de dólares que él cambió.